Examen national de mathématiques SCM (2022 Maroc)
Le temps de réalisation est de 4 heures
Exercice 1 (10pts)
(0.25) A-1) Vérifier que (∀x∈IR+)
| 0≤1-x+x² - | 1 | ≤ x³ |
| x+1 |
(0.25) 2) En déduire que (∀x∈IR+)
| 0≤x - | x² | + | x³ | -ln(1+x) | ≤ | x4 |
| 2 | 3 | 4 |
B-) On considère la fonction f définie sur I=[0;+∞[ par
| f(0)= | 1 | et ∀x∈]0;+∞[, f(x)= | x-ln(1+x) |
| 2 | x² |
et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i→;j→).
(0.5) 1-a) Montrer que f est continue à droite en 0.
(0.5) b) Montrer que f est dérivable à droite en 0.
(0.5) c) Calculer
| lim +∞ | f(x) |
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
(0.5) 2-a) Montrer que
| (∀x∈]0;+∞[): f'(x) = | g(x) |
| x³ |
| ou g(x) = x+ | x | -2ln(1+x) |
| x+1 |
(0.5) b) Montrer que (∀x∈I), 0≤g'(x)≤x².
(0.25) c) En déduire que (∀x∈I)
| 0 ≤ g(x) ≤ | x³ |
| 3 |
(0.25) d) Déterminer le sens de variations de f sur I.
(0.25) 3-a) Dresser le tableau de variations de f.
(0.5) b) Représenter graphiquement la courbe (C) dans le repère (O;i;j)
(On prendra ||i→||=2cm et ||j→||=2cm).
(0.5) C-1) Montrer qu'il existe un unique réel α∈]0;1[ tel que f(α)=α.
2) On considère la suite (un) définie par
| u0 = | 1 | et (∀n∈IN), un+1 = f(un) |
| 3 |
(0.5) a) Montrer que (∀n∈IN), un∈[0;1].
(0.5) b) Montrer que (∀n∈IN)
| |un+1 - α| ≤ ( | 1 | )|un - α| |
| 3 |
(0.5) c) Montrer que
| (∀n∈IN), |un - α| ≤ ( | 1 | )n |
| 3 |
(0.25) d) En déduire que la suite (un) converge vers α
D- ) Pour tout x∈I, on pose
| F(x) = | 1 ∫ x |
f(t)dt |
(0.5) 1-) Montrer que la fonction F est dérivable sur I et calculer F'(x) pour tout x∈I.
(0.5) 2- a) En utilisant la méthode d'intégration par parties montrer que
(∀x∈]0;+∞[)
| F(x) = 2ln2 -(1+ | 1 | )ln(1+x) |
| x |
(0.5) b) Calculer
| lim +∞ | F(x) |
Puis en déduire que
| 1 ∫ 0 |
f(t)dt = 2ln2 -1 |
(0.5) c) Calculer en cm², l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=1.
E-) On pose pour tout k de IN
| Δk = f(k) - | k+1 ∫ k |
f(t)dt |
et pour tout n de IN*
| Sn = | k=n-1 Σ k=0 |
Δk |
(0.25) 1-a) Vérifier que (∀k∈IN) 0≤Δk≤f(k)-f(k+1).
(0.5) b) En déduire que (∀n∈IN*)
| 0 ≤ Sn ≤ | 1 |
| 2 |
(0.25) 2-a) Montrer que la suite (Sn)n∈IN* est monotone.
(0.25) b) En déduire que la suite (Sn)n∈IN* est convergente.
(0.25) c) Montrer que la limite l de la suite (Sn)n∈IN* vérifie
| 3 | - 2ln2 ≤ l ≤ | 1 |
| 2 | 2 |
Exercice 2 (3,5pts)
Soit m un nombre complexe non nul donné
| j = | -1 | + | √3 | i = ei2π/3 |
| 2 | 2 |
I-) On considère dans ℂ l'équation d'inconnue z
(En): z²+mj²z+m²j=0
(0.5) 1) Vérifier que j³=1 et 1+j+j²=0.
(0.25) 2-a) Montrer que le discriminant de l'équation (En)
est Δ=|m(1-j)|².
(0.5) b) Déterminer z1 et z2 les deux solutions de l'équation (En).
(0.5) 3) Dans cette question on suppose que m=1+i
Montrer que (z1+z2)2022 est imaginaire pur.
II-)
Le plan complexe est rapporté d'un repère orthonormé direct (O;u→;v→).
Soit φ la transformation du plan complexe qui à tout point M(z) fait correspondre le point M'(z') tel que z'=(1+j)z
(0.25) 1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'application φ.
2) On considère les points A, B et C d'affixes respectives m, mj et mj²
et on note A'(a'), B'(b') et C'(c') les images respectives des points A, B et C par l'application φ et soient P(p), Q(q) et R(r) les milieux respectifs des segments [BA'], [CB'] et [AC']
(0.75) a) Montrer que
a'=-mj², b'=-m et c'=-mj.
(0.25) b) Montrer que p+qj+rj²=0
(0.5) c) En déduire que le triangle PQR est équilatéral.
Exercice 3 (3pts)
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.
On considère dans IN² l'équation (En): (x+1)n-xn=ny.
Soit (x;y) une solution de l'équation (En) dans IN² et soit p le plus petit diviseur premier de n.
(0.25) 1-a) Montrer que (x+1)n≡xn[p].
(0.25) b) Montrer que p est premier avec x et avec (x+1).
(0.25) c) En déduire que (x+1)n-1≡xn-1[p].
(0.5) 2-) Montrer que si n est pair alors l'équation (En) n'admet pas de solution dans IN².
3-) On suppose que n est impair.
(0.5) a) Montrer qu'il existe un couple (u;v) de ℤ² tel que nu+(p-1)v=1.
(On rappelle que p est le plus petit diviseur premier de n).
(0.25) b) Soient q et r respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de u par (p-1).
Vérifier que nr=1-(p-1)(v+nq).
(0.5) c) On pose v'=-(v+nq).
Montrer que v'≥0.
(0.5) d) Montrer que l'équation (En) n'admet pas de solution dans IN².
Exercice 4 (3,5pts)
On rappelle que (𝕄2(IR),+,×) est un anneau unitaire non commutatif d'unité
| I = | 1 | 0 | ||
| 0 | 1 |
et que (ℤ,+,×) est un anneau commutatif unitaire et intègre.
| Soit E={M(a;b) = | a | b | /(a;b)∈ℤ²} | ||
| c | d |
(0.25) 1-a) Montrer que E est un sous groupe de (M2(IR);+).
(0.25) b) Vérifier que pour tout a;b;c et d de ℤ on a
M(a;b)×M(c;d)=M(ac+3bd;ad+bc)
(0.5) c) Montrer que (E;+;×) est un anneau commutitif et unitaire.
(0.5) 2-) Soit φ l'application définie de E vers ℤ par
∀(a;b)∈ℤ²: φ(M(a;b))=|a² - 3b²|
Montrer que φ est un homomorphisme de (E,×) vers (ℤ,×).
3-) Soit M(a;b)∈E
(0.25) a) Montrer que
M(a,b)×M(a,-b)=(a²-3b²).I
(0.5) b) Montrer que si M(a,b) est inversible dans (E,×) alors φ(M(a,b))=1.
(0.5) c) On suppose que φ(M(a,b))=1.
Montrer que M(a,b) est inversible dans (E,×) rt préciser son inverse.
(0.25) 4-a) Montrer que ∀(a,b)∈ℤ²: φ(M(a,b))=0⇔ a=b=0.
(0.25) b) En déduire que l'anneau (E,+,×) est intégre.
(0.25) c) Est ce que (E,+,×) est un corps ? justifier votre réponse.