Examen national de mathématiques SCM (2023 Maroc)

Exercice 1 (7.75pts)

Partie I
(0.5) 1- a) Montrer que (∀t∈IR⁺)

4	≤	1	≤	1	(1+	1	)
(2+t)²		1+t		2		(1+t)²

(0.5) b) En déduire que (∀x∈IR⁺)

2x	≤ ln(1+x) ≤	1	(	x²+2x	)
2+x		2		1+x

2) Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ]0;+∞[ par

g(x) =	ln(1+x)
	x

(0.5 pt) Montrer que

lim +∞	g(x) - 1	=	-1
	x		2

Partie II
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0;+∞[ par
f(0)=1 et ∀x∈]0;+∞[: f(x)=g(x)e^-x.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).

(0.5) 1) Calculer

lim +∞

f(x)

puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
(0.25) 2-a) Montrer que f est continue à droite en 0.

(0.25) b) Vérifier que ∀x∈]0;+∞[

f(x)-1	= (	e-x - 1	)g(x) +	(	g(x) -1	)
x		x			x

(0.5) c) En déduire que f est dérivable à droite en 0 et déterminer f'_d(0).
(0.75) 3-) Montrer que f est dérivable sur ]0;+∞[ puis que:

(∀x∈]0;+∞[): f'(x) =	x-(1+x²)ln(1+x)	e-x
	x²(1+x)

(0.5) 4- a) Montrer que (∀x∈]0;+∞[):

-3	<	x-(1+x²)ln(1+x)	< 0
2		x²(1+x)

(0.25) c) En déduire que (∀x∈]0;+∞[)

-3	< f'(x) < 0
2

(0.25) 5-a) Dresser le tableau de variations de f.
(0.5) b) Construire la courbe (C) en faisant apparaître la demie tangente à droite au point d'abscisse 0. (On prendra ||i^→||=2cm).

Partie III
(0.5) 1-) Montrer que l'équation f(x)=3x admet une unique solution α dans ]0;+∞[.
2-) Soient β∈IR⁺ et (u_n)_n∈IN la suite numérique définie par:

u0 = β	et (∀n∈IN): un+1=	1	f(un)
		3

(0.5) a) Montrer que (∀n∈IN), u_n≥0.

(0.5) b) Montrer que (∀n∈IN)

|un+1 - α| ≤	1	|un - α|
	2

(0.5) c) Montrer par récurrence que

(∀n∈IN), |un - α| ≤	1	|β-α|
	2n

(0.25) d) En déduire que la suite (u_n) converge vers α.

Exercice 2 (2.25pts)

On considère la fonction x→e^x et soit (Γ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
∀n∈IN* et ∀k∈{0;1;...;n}, on note M_k le point de la courbe (Γ) de coordonnées

(	k	; ek/n)
	n

(0.5) 1- a) Montrer que
∀k∈{0;1;...;(n-1)}

∃ci∈]	k	;	k+1	[ / e(k+1)/n - ek/n =	1	eci
	n		n		n

(0.25) b) Montrer que ∀k∈{0;1;...;(n-1)},

MkMk+1=	1	√(1+e2ck)
	n

(M_kM_k+1 désigne la distance de M_k à M_k+1)

(0.5) c) En déduire que
∀k∈{0;1;...;(n-1)},

1	√(1+e2k/n)≤MkMk+1≤	1	√(1+e2(k+1)/n)
n		n

2-) Soit (S_n)_n∈IN la suite numérique définie par:

(∀n∈IN*): Sn =	n-1 Σ k=0	MkMk+1

(0.5) a) Vérifier que ∀n∈IN*

1	n-1 Σ k=0	√(1+e2k/n)≤ Sn≤	1	n Σ k=1	√(1+e2k/n)
n			n

(0.5) b) En déduire que

lim +∞

Sn =

1 ∫ 0

√(1+e2x)dx

Exercice 3 (3pts)

On considère le nombre complexe:
u=1+(2-√3)i
(0.5) 1- a) Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes:
1-i et 1+i√3
(0.25) b) Montrer que:

(1-i)(1+i√3)	= eπ/12
2√2

(0.25) c) En déduire que:

tan(	π	) = 2-√3
	12

(0.5) d) Montrer que: u=(√6-√2)e^iπ/12

2-) On considère les deux suites numériques (x_n)_n∈IN et (y_n)_n∈IN définies par:
x₀=1, y₀=0

	xn+1 =	xn-(2-√3)yn
	yn+1 =	(2-√3)xn+yn

(0.5) a) Montrer par récurrence que pour tout n∈IN: x_n+iy_n=uⁿ

(0.5) b) En déduire que pour tout n∈IN:

xn =	cos(nπ/12)	et yn =	cos(nπ/12)
	(cosπ/12)n		(cosπ/12)n

3-) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O;e₁^→;e₂^→).
Pour tout entier naturel n, on note A_n le point d'affixe uⁿ
(0.5) a) Déterminer les entiers n pour lesquels les points O, A₀ et A_n sont alignés.
(0.5) b) Montrer que pour tout entier n, le triangle OA_nA_n+1 est rectangle en A_n.

Exercice 4 (3pts)

Soit p un nombre premier impair. On considère l'équation (E): x²≡2[p]
(0.25) 1- a) Montrer que 2^p-1≡1[p]
(0.25) b) En déduire que:
2^(p-1)/2≡1[p] ou 2^(p-1)/2≡-1[p]
(On remarque que
(2^(p-1)/2-1)(2^(p-1)/2+1)=2^(p-1)-1)
2-) Soit x une solution de l'équation (E)
(0.5) a) Montrer que p et x sont premiers entre eux.
(0.5) b) En déduire que: 2^(p-1)/2≡1[p] (On pourra utiliser le théorème de Fermat).

(0.25) 3-) Montrer que ∀k∈{1;2;...;p-1}

p divise

C

k p

On rappel que (∀k∈{1;2;...;p-1})

C	k p	=	p!	et k	C	k p	= p	C	k-1 p-1
			k!(p-k)!

(0.25) 4- a) En utilisant la formule de Moivre, montrer que:
(1+i)^p=2^p/2cos(pπ/4)+i2^p/2sin(pπ/4)
(i étant le nombre complexe tel que i²=-1).

(0.5) b) On admet que:

(1+i)p =	(p-1)/2 Σ k=0	(-1)k	C	2k p
+ i	(p-1)/2 Σ k=0	(-1)k	C	2k+1 p

Montrer que:
2^p/2cos(pπ/4)∈ℤ et 2^p/2cos(pπ/4)≡1[p] (On pourra utiliser la question 3-)
(0.5) 5-) En déduire que si p≡5[8] alors l'équation (E) n'admet pas de solution dans ℤ.

Exercice 5 (3,5pts)

On rappelle que (𝕄₂(IR),+,×) est un anneau unitaire non commutatif

d'unité I =		1	0		et de zero O =		0	0
		0	1				0	0

et que (ℤ,+,.) est un espace vectoriel réel.
On considère l'ensemble

E = {M(x;y) =		x+y	y		/(x;y)∈ℤ²}
		2y	x-y

Partie I
(0.5) 1-) Montrer que E est un sous groupe de (M²(IR);+).
(0.25) 2-) Montrer que E est un sous espace vectoriel de (M²(IR),+,1).
(0.25) 3-a) Vérifier que ∀(x;y;x';y')∈IR⁴
M(x;y)×M(x';y')=M(xx'+3yy';xy'+yx')
(0.5) b) En déduire que (E;+;×) est un anneau commutitif et unitaire.

(0.25) 4-a) Vérifier que: M(√3;1)×M(-√3;1)=0.
(0.25) b) En déduire que (E,+,×) n'est pas un corps.

Partie II
Soient F={x+y√3 /(x;y)∈ℚ²}

et G = {M(x;y) =		x+y	y		/(x;y)∈ℚ²}
		2y	x-y

(0.25) 1-) Montrer que
∀(x;y)∈ℚ²; x+y√3=0 si et seulement si (x=0 et y=0).
(0.25) 2-) Montrer que F\{0} est un sous groupe de (IR*,×).

3-) Soit φ l'application définie de F\{0} vers E par
∀(x;y)∈ℚ²\{(0;0)}: φ(x+y√3)=(M(x;y)
(0.25) a) Vérifier que: φ(F\{0})=G\{0}.
(0.25) b) Montrer que φ est un homomorphisme de (F\{0},×) vers (E,×).
(0.25) b) En déduire que (G\{0},×) est un groupe commutatif.
(0.25) 4-) Montrer que (G,+,×) est un corps commutatif. End!!