1- Dérivabilité

1.1 Dérivabilité en un point

1.1.1 Coefficient directeur d'une droite

Soient A et B deux points différents d'une droite (D). le rapport

est le Coefficient directeur de la droite (D).

y=mx+p est l'équation réduite de la droite (D).
p est l'ordonnée à l'origine.

Définition
Soit f est une fonction définie sur un intérvalle I et a∈I. f est dérivable au point a signifie qu'il existe un nombre réel L tel que

L est le nombre dérivé de la fonction f en a, noté f'(a).

Intérprétation graphique et équation de la tangente
Soit f une fonction dérivable au point a et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).

Si M(x;y)∈(C) alors le nombre

est le coefficient directeur de la droite (T) qui touche (C) au point A(a;f(a)).

(T) est appelée tangent à (C) au point A
d'équation y=f'(a)(x-a)+f(a).

Propriété et définition
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I tel que a∈I et (C) la courbe représentative de f dans un repère.
Si f est dérivable au point a alors la courbe (C) admet une tangente (T) au point A(a;f(a)).

L'quation y=f'(a)(x-a)+f(a) est appelée équation de la tangente (T). .

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par f(x)=x².
montrer que f est dérivable au point 5 puis déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 5.

Correction
1) On a (5∈D) et f(5)=5²=25.

donc f est dérivable au point 5 et f'(5)=10.
Puisque f est dérivable au point 5 alors la courbe (C) admet une tangente (T) d'équation
y=f'(5)(x-5)+f(5)=10(x-5)+25
ainsi (T): y=10x-25.