2- المعادلات والمتراجحات من الدرجة الثانية بمجهول واحد

2.1 المعادلات من الرتبة 2 بمجهول واحد (تذكير)

2.2.1 تعريف

ليكن a و b و c أعداد حقيقية معلومة بحيث a≠0
و x عددا حقيقيا مجهولا. المعادلة من الرتبة 2 بمجهول واحد x هي معادلة تكتب على الشكل
ax²+bx+c=0
والعدد الحقيقي Δ=b²-4ac مميزها.

2.2.2 تعميل ثلاثية الحدود T(x)=ax²+bx+c وحلول المعادلة T(x)=0.

Δ=b²-4ac
1) اذا كان Δ=0.

T(x) = a(x+	b	)²
	2a

ومنه فان المعادلة ax²+bx+c=0 تقبل حلا مزدوجا x₁.

x1 =	- b
	2a

2) اذا كان Δ>0.

T(x) = a(x-	-b-√(Δ)	)(x-	-b+√(Δ)	)
	2a		2a

ومنه فان المعادلة T(x)=0 تقبل حلين مختلفين.

x1 =	- b - √(Δ)		x2 =	- b + √(Δ)
	2a			2a

ونعمل ثلاثية الحدود T(x) على الشكل التالي
T(x)=a(x-x₁)(x-x₂).
3) اذا كان Δ<0 فان T(x) لا تعمل وبالتالي المعادلة ليس لها اي حل.

2.2.3 خاصيات

لتكن a و b و c أعداد حقيقية حيث a≠0
و S مجموعة حلول المعادلة (E): ax²+bx+c=0.
1) اذا كان Δ=0 فان المعادلة (E) تقبل حلا مزدوجا.

S = {	-b	}
	2a

2) اذا كان Δ>0 فان المعادلة (E) تقبل حلين مختلفين.

S = {	- b - √(Δ)	;	- b + √(Δ)	}
	2a		2a

3) اذا كان Δ<0 فان S=∅.

مثال 1
حل في IR المعادلة x²-10x+25=0.

تصحيح

a=1

b=-10

c=25

Δ=b²-4ac =(-10)²-4.1.25
Δ=100-100=0 اذن المعادلة تقبل حلا مزدوجا

x1 =	-b	=	-(-10)	= 5
	2a		2.1

اذن S={5}.

مثال 2
حل في IR المعادلة -5x²+3x+2=0.

تصحيح

a=-5

b=3

c=2

Δ=b²-4ac=3²-4.(-5).2=9+40
Δ=49>0 اذن المعادلة تقبل حلين مختلفين.

x1 =	-b - √Δ		x2 =	-b + √Δ
	2a			2a
x1 =	-3 - √49		x2 =	-3 + √49
	2(-5)			2(-5)
x1 =	-10		x2 =	4
	-10			-10

x1 =	1		x2 =	-2
	1			5
S = {	-2	;	1}
	5

مثال 3
حل في IR المعادلة 7x²+x+10=0.

تصحيح

a=7

b=1

c=10

Δ=b²-4ac=1²-4.7.10=1-128
Δ=-127<0 اذن المعادلة مستحيلة في IR وبالتالي S=∅.

تمرين 1 tp

حل في IR المعادلة (E): 2x²+√(8)x +1=0.

تصحيح

a=2

b=√(8)

c=1

Δ=b²-4ac =(√(8))²-4.2.1=0
المعادلة اذن تقبل حلا مزدوجا.

x1=	-b	=	-√(8)	=	-√(4.2)	=	-2√(2)
	2.a		2.2		4		4

S = {	-√(2)	}	وبالتالي
	2