2.3 Fonction homographique

x→	ax + b
	cx + d

2.3.1 Exemple 1

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	2x - 1
	x - 1

et C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) Déterminer l'ensemble de définition de f.

2) Calculer les limites suivantes

lim - ∞	f(x)		lim + ∞	f(x)
lim 1-	f(x)		lim 1+	f(x)

et déduire les asymptotes de (C).
3) (a) Calculer f'(x) tel que x∈D et étudier la monotonie de f.
(b) Tracer le tableau de variations de f.
4) Tracer les asymptotes et la courbe (C).

Correction
1) f est définie si x-1≠0 ou encore si x≠1
donc D=IR\{1}=]-∞;1[∪]1;+∞[.
2) Limites et adymptotes.

lim -∞	f(x) =	lim -∞	2x	= 2
			x

donc (C) admet une asymptote d'équation y=2 au voisinage de -∞.

lim +∞	f(x) =	lim +∞	2x	= 2
			x

donc (C) admet une asymptote d'équation y=2 au voisinage de +∞.

2) On étudie d'abord le signe de x-1 au voisinage de 1.
On pose p(x)=2x-1 et q(x)=x-1.
p(1)=2(1)-1=1

x		-∞		1		+∞
x - 1			-	||	+

Si x → 1^- alors q(x) → 0^-.

lim 1-	f(x)	=	1	= - ∞
			0-

ainsi (D): x=1 est une asymptote à (C) à gauche à 1.
Si x → 1⁺ alors q(x) → 0⁺.

lim 1+	f(x)	=	1	= + ∞
			0+

ansi (D): x=1 est une asymptote à (C) à droite à 1.

4) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D. Soit x∈D

f '(x) =	2(x-1) - (2x-1)(1)
	(x-1)²
=	2x - 2 - 2x + 1
	(x-1)²

ainsi pour tout x∈D on a

f' (x) =	-1
	(x - 1)²

Signe de f'(x)
-1<0 et (x-1)²>0
donc (∀x∈IR \{1}): f'(x)<0
ainsi f est strictement décroissante sur ]-∞;1[ et strictement décroissante aussi sur ]1;+∞[.

Tableau de variations de f

x		-∞			1			+∞
f '(x)			-		||		-
f		2	↘	-∞	||	+∞	↘	2

5) La courbe (C).