Calcul des limites (7)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 2x + 3 |
| x+5 |
1) Déterminer D et montrer
| (∀x∈D): f(x) = 2 + | -7 |
| x+5 |
2) Calculer
lim (-5)+ |
f(x) | et | lim (-5)- |
f(x) |
Correction
1) D = ]-∞ ; -5[∪]-5 ; +∞[ soit x∈D
| f(x) = | 2x + 10 -10 + 3 |
| x+5 |
| = | 2(x+5) | - | 7 |
| x+5 | x+5 |
Donc pour tout x∈D on a
| f(x) = 2 - | 7 |
| x+5 |
Le dénominateur de f s'annule au point -5 donc pour calculer la limite au point -5 on doit étudier le signe de x+5
| x | -∞ | -5 | +∞ | ||
| x+5 | - | 0 | + |
Si x→(-5)+ alors x∈]-5 ; +∞[ donc
lim (-5)+ |
f(x) - 2 = | lim (-5)+ |
-7 | = | -7 |
| x+5 | 0+ |
| Donc | lim (-5)+ |
f(x) = - ∞ |
Si x→(-5)- alors x∈]-∞;-5[ donc
lim (-5)- |
f(x)-2 = | lim (-5)- |
-7 | = | -7 |
| x+5 | 0- |
| Donc | lim (-5)- |
f(x) = + ∞ |
Puisque
lim (-5)- |
f(x) ≠ | lim (-5)+ |
f(x) |
alors f n'a pas de limite au point -5
Esercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x² + 3x + 2 |
| x - 2 |
1) Déterminer D
et montrer que (∀x∈D): f(x) = x + 1
2) Calculer
lim 2 |
f(x) |
Correction
1) f est définie x-2≠0 ou encore x≠2
donc D = ]-∞ ; 2[∪]2 ; +∞[
Soit x∈D
on pose T(x) = x² - 3x + 2
T(2) = 0 donc 2 est une solution de l'équationT(x) = 0
Pour factoriser T(x) on détermine la deuxième solution
Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4.2 = 1 > 0
L'équation admet donc deux solutions
| x1= | -b - √(Δ) | x2= | -b + √(Δ) | |
| 2a | 2a |
| x1 = | -(-3) - √(1) | x2 = | -(-3) + √(1) | |
| 2.1 | 2.1 | |||
| = | 2 | = | 4 | |
| 2 | 2 |
Donc x1 = 1 et x2 = 2
T(x) = a(x-x1)(x-x2)
= (x-1)(x-2)
Donc pour tout x∈D on a
| f(x) = | (x-1)(x-2) |
| x-2 |
ou encore f(x) = x - 1
lim 2 |
f(x) = | lim 2 |
x - 1 | = 2 -1 |
Ainsi
lim 2 |
f(x) = 1 |