للتذكير
1) الدالة الاسية النبيرية ونرمز لها ب exp الدالة الوحيدة التي تحقق ثلاث شروط
(a) الدالة exp قابلة للاشتقاق على IR
(b) الدالة exp تساوي دالتها المشتقة (exp)'
أي لكل x∈IR لدينا (exp)'(x) = exp(x)
(c) exp(0) = 1
بالاضافة الى ذلك exp موجبة قطعا ومعرفة من IR نحو ]0 ; +∞[
الدالة exp تزايدية قطعا على IR

2) خاصيات
ليكن x∈IR و y∈]0;+∞[
لدينا exp(x) = e^x
e^x = y ⇔ x = ln(y)

ليكن x; y∈IR و n∈IN

3) نهايات اعتيادية

تمرين 1 tp

حل في IR المعادلات التالية
1) e^x = 5
2) e^x = -3

تصحيح

1) المعادلة e^x = 5 معرفة في IR
ونعلم ان e^x=5 ⇔ x = ln5
اذن S = { ln5 }
2) المعادلة e^x = -3 مستحيلة
لان لكل x∈IR لدينا e^x>0 ولدينا - 3 سالب
اذن S=∅.

تمرين 2 tp

حل في IR المعادلة التالية
e^x+1=e^{2 - 3x}.

تصحيح

المعادلة معرفة على IR
ليكن x∈IR
e^{x + 1} = e^{2 - 3x} ⇔ x + 1 = 2 - 3x
⇔ x + 3x = 2 - 1
⇔ 4x = 1

اذن

تمرين 3 tp

حل في IR المعادلة التالية

تصحيح

(∀x∈IR) e^x > 0 اذن e^x ≠ 0
وبالتالي المعادلة معرفة على IR

ليكن x∈IR

⇔ e^x = √(4) أو e^x = - √(4)
⇔ e^x = 2 أو e^x = - 2
لدينا e^x = 2 ⇔ x = ln(2)
والمعادلة e^x = - 2 مستحيلة في IR
لأن (∀x∈IR) e^x > 0
وبالتالي S = { ln(2) }

تمرين 4 tp

حل في IR المعادلة التالية
(E): e^2x-2e^x+1=0.

تصحيح

المعادلة معرفة على IR. ليكن x∈IR
لدينا e^2x=(e^x)² ومنه فان
(E) ⇔ (e^x)² - 2e^x + 1 = 0
نضع X = e^x اذن (E) تصبح X²-2X+1=0
(E) ⇔ (X-1)²=0 ⇔ X-1=0 ⇔ X=1
ومنه فان e^x=1 اذن x=0 وبالتالي S={0}.