(1) الاشتقاق والدوال الأصلية
1- الاشتقاق
1.1 الاشتقاق في نقطة والاشتقاق على مجال
1.1.1 الاشتقاق في نقطة
المعامل الموجه لمستقيم تذكير
لتكن A و C نقطتين مختلفتين من مستقيم (D).
النسبة التالية
m = | yC - yA |
xC - xA |
هي ميل أو المعامل الموجه للمستقيم (D).
y=mx+p هي المعادلة المختصرة للمستقيم (D).
p هو الارتوب عند الأصل.
![](../img/droite2.png)
تعريف
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I و a∈I
نقول ان الدالة f قابلة للاشتقاق في نقطة a يعني يوجد عدد حقيقي L بحيث
lim x→a |
f(x) - f(a) | = L | |
x-a |
العدد L يسمة العدد المشتق للدالة f في النقطة a ونرمز له ب f '(a).
lim x→a |
f(x) - f(a) | = f '(a) | |
x-a |
التاويل الهندسي ومعادلة المماس
لتكن f دالة قابلة للاشتقاق في a
اذن
lim x→a |
f(x) - f(a) | = f '(a) | |
x-a |
(C) المنحنى الممثل لها في معلم (O;i→;j→) و A(a;f(a))∈(C). اذا كانت M(x;y)∈(C) فان العدد
f(x) - f(a) | |
x-a |
هو المعامل الموجه للمستقيم (AM).
![La tangente tangente](../img/tangente.png)
واذا كانت النقطة M تتغير وضعيتها على المنحنى الى ان تنطبق مع النقطة A فان المستقيم (AM) ياخذ وضعية المستقيم الوحيد (T) الذي يمس المنحنى في النقطة A=M.
ميل المستقيم (T) العدد
lim x→a |
f(x) - f(a) | = f '(a) | |
x-a |
(T) يسمى مماسا معادلته y=f'(a)(x-a)+f(a).
خاصية وتعريف
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I حيث a∈I و (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم
اذا كانت f قابلة للاشتقاق في النقطة a فان (C) يقبل مماسا (T) في النقطة ذات الأفصول a ميله f'(a).
معادلة المماس (T) تكتب على الشكل
y=f'(a)(x-a)+f(a) وتسمى معادلة المماس (T).
مثال
لتكن f دالة عددية بحيث f(x)=x².
بين أن f قابلة للاشتقاق في النقطة 5 ثم حدد معادلة المماس لمنحنى الدالة f في النقطة ذات الأقصول 5.
تصحيح
1) لدينا
(5∈D) و f(5)=5²=25.
lim x→5 |
f(x) - f(5) | = | lim x→5 |
x² - 25 |
x-5 | x-5 |
= | lim x→5 |
(x-5)(x+5) |
x-5 | ||
= | lim x→5 |
x + 5 = 10 |
اذن الدالة f قابلة للاشتقاق في 5 وعددها المشتق عند 5 هو f'(5)=10.
بما أن الدالة f قابلة للاشتقاق في 5 فان المنحنى (C) يقبل مماسا (T) معادلته تكتب على الشكل
y=f'(5)(x-5)+f(5)=10(x-5)+25
وبالتالي معادلة المماس (T): y=10x-25.