1.1.2 Dérivation sur un intervalle

Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
1) f est dérivable sur I signifie qu'elle est dérivable en tout point de I.
2) La fonction qui lie chaque élément x de I avec le nombre dérivé f'(x) est appelée fonction dérivée de f et est notée f'.

Propriété 1
Soit a∈IR et f une fonction constante de la variable x définie par f(x)=a.
f est dérivable sur IR
et ∀x∈IR on a f'(x)=0.

Exemples
1) La fonction f définie par f(x)=1 est dérivable sur IR et on a (∀x∈IR) f'(x)=0.
2) La fonction g définie par g(x)=7 est dérivable sur IR et on a (∀x∈IR) g'(x)=0.

2) La fonction h définie par h(x)=7 est dérivable sur IR
et on a (∀x∈IR) h'(x)=0.

Propriété 2
Soit a∈IR et f une fonction de la variable x définie par f(x)=ax.
f est dérivable sur IR
et on a (∀x∈IR) f'(x)=a.

Exemples
1) La fonction f définie par f(x)=x est dérivable sur IR
et on a (∀x∈IR) f'(x)=1.
2) La fonction g définie par g(x)=2x est dérivable sur IR
et on a (∀x∈IR) g'(x)=2.
3) La fonction h définie par h(x)=-4x est dérivable sur IR
et on a (∀x∈IR) h'(x)=-4.

Propriété 3
Soient n∈IN* et f une fonction numérique de la variable x définie par
Pour tout x∈IR on a f(x)=xⁿ.
La fonction f est dérivable sur IR et sa fonction dérivée est définie par
Pour tout( ∀x∈IR) f'(x)=nx^n-1.

Exemples
1) La fonction f définie par f(x)=x² est dérivable sur IR
et on a (∀x∈IR) f'(x)=2x.

2) La fonction g définie par g(x)=x³ est dérivable sur IR
et on a (∀x∈IR) g'(x)=3x².
3) La fonction h définie par h(x)=x⁴ est dérivable sur IR
et on a (∀x∈IR) h'(x)=4x³.
4) La fonction u définie par u(x)=x⁵ est dérivable sur IR
et on a (∀x∈IR) u'(x)=5x⁴.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x³ et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) déterminer f'(-1).
2) Déterminer l'équation de la tangente à (C) au point d'abscisse -1.

Correction

1) -1∈D et f(-1)=(-1)³=-1.
On a f est dérivable sur IR.

Pour tout x∈IR on a f'(x)=3x²
donc f'(-1)=3(-1)²=3.
2) Puisque f est dérivable en -1 alors la courbe (C) admet une tangente (T) au point d'abscisse -1 d'équation y=f'(-1)(x-(-1))+f(-1)
=3(x+1)-1
=3x+3-1
ainsi (T): y=3x+2.