1.3 رتابة دالة و مطارف دالة

1.3.1 رتابة دالة واشارة دالتها المشتقة

مبرهنة
لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على مجال I.
f تزايدية على I ⇔ (∀x∈I) f'(x)≥0.
f تناقصية على I ⇔ (∀x∈I) f'(x)≤0.
f تابتة على I ⇔ (∀x∈I) f'(x)=0.
f تزايدية قطعا على I ⇔ (∀x∈I) f'(x)>0.
f تناقصية قطعا على I ⇔ (∀x∈I) f'(x)<0.

مثال
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=x²-4x.
1) حدد f'(x) حيث x∈IR.
2) (a) ادرس اشارة f' على IR.
(b) واستنتج رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها.

تصحيح
1) f حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR
f'(x)=(x²-4x)'=2x-4
اذن لكل x∈IR لدينا f'(x)=2x-4.

2) (a) اشارة f'
f'(x)=0 ⇔ 2x-4=0 ⇔ x=2.
f'(x) تكتب على الشكل ax+b.
لدينا معامل x يساوي 2 (a=2>0) اذن

x		-∞		2		+∞
f'(x)			-	0	+

ومنه فان
اذا كان x∈]-∞;2[ فان f'(x) < 0
اذا كان x∈]2;+∞[ فان f'(x) > 0.
(b) نستنتج اذن ان f تناقصية قطعا على ]-∞;2]
وتزايدية قطعا على [2;+∞[.
(ملاحظة العدد 2 يعتبر نقطة مهملة لان f'(2)=0 ).

نحسب النهايتين لانشاء جدول التغيرات.

lim - ∞

f(x) =

lim - ∞

x² = +∞

lim + ∞

f(x) =

lim + ∞

x² = +∞

جدول التغيرات

x		-∞		2		+∞
f '(x)			-	0	+
f		+∞	↘	-4	↗	+∞