تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=-2x²+4x+3.
1) حدد f'(x) حيث x∈IR.
2) حدد اشارة f' واستنتج رتابة الدالة f.
3) انشئ جدول تغيرات الدالة f.
4) استنتج مطرافا للدالة f.

تصحيح

1) f دالة حدودية قابلة للاشتقاق على IR.
ليكن x∈IR لدينا
f'(x)=(-2x²+4x+3)'=-4x+4
اذن لكل x∈IR لدينا f'(x)=-4x-4.
2) f'(x)=0 ⇔ -4x+4=0
⇔ -4x=-4 ⇔ x=1
لدينا a=-4 < 0 اذن

اذا كان x∈]-∞;1[ فان f'(x)>0.
اذا كان x∈]1;+∞[ فان f'(x)<0
وهذا يعني أن f دالة تزايدية قطعا
على المجال ]-∞;1] وتناقصية قطعا
على المجال [1;+∞[.
3) نحسب النهايتين التاليتين لانشاء جدول التغيرات

4) الدالة المشتقة f ' تنعدم في 1
وتتغير اشارتها من + الى -
اذن f(1)=5 قيمة قصوى للدالة f على IR
اذن العدد 5 مطراف للدالة f.

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=x³-3x.
1) حدد f'(x) حيث x∈IR.
2) حدد اشارة f' واستنتج رتابة الدالة f ثم انشئ جدول تغيراتها.
3) استنتج مطارف الدالة f.

تصحيح

1) f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR.
ليكن x∈IR لدينا
f'(x)=(x³-3x)'=3x²-3
اذن f'(x)=3x²-3.

2) f'(x)=0 ⇔ 3x²-3=0 ⇔ 3(x²-1)=0
⇔ x²-1=0 ⇔ (x-1)(x+1)=0
⇔ (x-1=0) أو (x+1=0)
⇔ (x=1) أو (x=-1)
لدينا a=3>0 اذن ثلاثية الحدود 3x²-3 لها اشارة a=3 خارج الجذرين وعكس اشارة a=3 داخل الجذرين

اذا كان x∈]-∞;-1[∪]1;+∞[ فان f'(x)≥0.
اذا كان x∈]-1;1[ فان f'(x)<0.

الدالة f اذن تزايدية قطعا على المجال
]-∞;-1] وتزايدية قطعا كذلك على المجال
[1;+∞[ وتناقصية قطعا على المجال [-1;1].
3) نحسب النهايتين التاليتين لانشاء جدول التغيرات

3) الدالة المشتقة f' تنعدم في (-1) وتتغير اشارتها من + الى - اذن f(-1)=2 قيمة قصوى محلية
للدالة f في المجال ]-∞;1[.
لدينا أيضا الدالة المشتقة f ' تنعدم في 1 وتتغير اشارتها من - الى + اذن f(1)=-2 قيمة دنيا محلية
للدالة f في المجال ]-1;+∞[.