(2) المتتاليات العددية والنهايات
للتذكير
1) نقول ان (un)n∈I متتالية هندسية
اذا كان
un+1=qun حيث n∈I والعدد q يسمى أساسا لها.
×q → |
×q → |
×q → |
×q → |
... |
||||||
u0 | u1 | u2 | u3 | u4 | ... |
اذا كان حدها الأول u0 فان un=u0qn.
واذا كان حدها الأول u1 فان un=u1q(n-1).
2) لتكن (un)n≥pمتتالية هندسية
و S=up+up+1+ .. +un.
لدينا n-p+1 عدد حدود المجموع S
S = up | 1 - qn - p + 1 |
1 - q |
تمرين 1 tp
لتكن (un)n≥1 متتالية هندسية اساسها 3 وحدها الاول 1
1) أكتب un بدلالة n.
2) أحسب المجموع
S=u1+u2+u3+u4+u5.
تصحيح
1) (un)n≥1 متتالية هندسية اذن un=u1qn-1
لدينا q=3 و u1=1 اذن un=3n-1.
2) 5-1+1=5 عدد حدود المجموع S
S = u1 | 1 - 35 | = 1 | 1 - 243 |
1 - 3 | -2 | ||
= | -242 | = | 242 |
-2 | 2 |
وبالتالي S=121.
تمرين 2 tp
احسب اساس متتالية هندسية حدها الاول 4 وحده الثاني 20.
تصحيح
نرمز مثلا للحد الاول ب u0 للحد الاول للمتتالية (un)n≥0
لدينا اذن u0=4 والحد الثاني u1=20
نعلم ان المتتالية هندسية اذن un+1=qun حيث q اساس لها
ومنه فان u1=qu0 أي
20=4q
اذن اساس المتتالية q=5.
تمرين 3 tp
لتكن (un)n≥1 متتالية هندسية اساسها q
حيث q>0 و u3=75 و u5=1875.
احسب الأساس q والحد u1.
تصحيح
1) لدينا (un)n≥1 متتالية هندسية أساسها q
اذن un=upqn-p حيث
1≤p≤n
ومنه فان u5=u3q5-3
أي 1875=75q²
أي q²=25 وبما أن
q>0 فان q=5
2) لدينا u3=u1q²
اي 75=25u1 اذن u1=3.
تمرين 4 tp
لتكن (un) متتالية هندسية أساسها q=5 وحدها الأول u0=2
1) اكتب un بدلالة n
2) حدد من بين الأعداد 50 و 100 و 250 التي تمثل حدودا للمتتالية (un).
3) احسب بدلالة n المجموع
S=u0+u2+ .. +un-1.
تصحيح
1) (un) متتالية هندسية
اذن un=u0qn
ومنه فان un=2×5n.
2) يعتبر عدد حقيقي x حدا للمتتالية (un)
اذا وجد عدد طبيعي n بحيث x=2×5n
(a) 50=2×5n ⇔ 25=5n ⇔ 5²=5n
اذن n=2 وبالتالي 50 حد للمتتالية (un).
(b) 100=2×5n ⇔ 50=5n
العدد n لا يوجد في IN اذن 100 ليس حدا للمتتالية (un).
(c) 250=2×5n ⇔ 125=5n ⇔ 5³=5n
اذن n=3 وبالتالي 250 حد للمتتالية (un).
3) (n-1)-0+1=n عدد حدود المجموع S
S = u0 | 1 - 5n | = 2 | 1 - 5n |
1 - 5 | -4 |
S = - | (1 - 5n ) | اذن |
2 |