التطبيقات (1)
1- التطبيق
1.1 التساوي بين تطبيقين
1.1.1 تعريف
لتكن E و F مجموعتين , تكون دالة تطبيقا
من E نحو F, اذا كان كل عنصر من E يقبل صورة وحيدة في F
E هي مجموعة الانطلاق و
F هي مجموعة الوصول
1.1.2 التساوي
ليكن f و g تطبيقين معرفين من E نحو F
f و g متساويان ونكتب f=g اذا كان لكل
x∈E: f(x)=g(x)
1.2 صورة جزء وصورته العكسية
1.2.1 صورة جزء
ليكن f تطبيقا من E نحو F و A⊂E
صورة الجزء A ب f هي جزء من F ونكتب f(A)
f(A)={y∈F / ∃x∈A: f(x)= y}
1.2.2 الصورة العكسية لجزء
نعتبر تطبيقا f معرفا من E نحو F و B⊂F
الصورة العكسية ل B ب f هي جزء A من E بحيث f(A)=B
A={x∈E / ∃y∈B: f(x)=y}
1.3 التطبيق التبايني
1.3.1 مثال
ليكن f تطبيقا معرفا من ℤ
نحو IN بما يلي: f(x)= 2x²
f(1)=2 و f(-1)=2 اذن يوجد عنصران
-1 و
1 من ℤ ويقبلان نفس الصورة 2 في المجموعة
IN.
في هذه الحالة نقول ان التطبيق f ليس تباينيا
1.3.2 تعريف
ليكن f تطبيقا من E نحو F
نقول ان التطبيق f تبايني من E نحو F
اذا كان لكل عنصر من F على الاكثر سابق في E
بتعبير آخر
f تبايني ⇔ (∀(x;x')∈E²: f(x)=f(x')⇒x=x') .
![](../img/injective.png)
1.4 التطبيق الشمولي
1.4.1 امثلة
f تطبيق من IN نحو IR حيث f(x)=x+1
ملاحظة:
لدينا 0∈IR وليس له سابق في IN لان x+1>0 في هذه الحالة f ليس شمولي
1.4.2 تعريف
ليكن f تطبيق من E نحو F
نقول ان f تطبيق شمولي من E نحو F اذا كان كل عنصر من F يقبل على الاقل سابق في E
بتعبير آخر
f شمولي من E نحو F
⇔
(∀y∈F)∃x∈E:
y=f(x)
بعبارة اخرى المعادلة f(x)=y, ذات المجهول x,
تقبل على الاقل حلا واحدا في E
![](../img/bijective.png)
2- التطبيق التقابلي والتطبيق العكسي
2.1 التطبيق التقابلي
2.1.1 تعريف
ليكن f تطبيقا من E نحو F
نقول ان f تطبيق تقابلي من E نحو F
اذا كان تباينيا وشموليا
f شمولي اذن المعادلة y=f(x) تقبل على الاقل حلا في E ولكن f
هو كذلك تبايني الذي يتطلب ان يكون لكل عنصر من
F على الاكثر سابق
2.1.2 خاصية
f تقابلي من E نحو F يكافئ
(∀y∈F) ∃!x∈E:
y=f(x)
بعبارة اخرى المعادلة
f(x)=y
E تقبل حلا واحدا في
2.2 التطبيق العكسي
2.2.1 مثال
f تطبيق معرف من Q نحو Q بما يلي
f(x)=2x+1
نبين ان f تقابل
y∈Q, y=f(x) ⇔
y=2x+1
⇔ x=(0,5)(y-1)
اذن x موجود ووحيد في Q
ومنه فان f تقابل في Q
لدينا اذن y=f(x)→x=0,5(y-1)
التطبيق من Q نحو Q وبالتالي :
f-1:x→0,5(x-1) هو التطبيق العكسي للتطبيق
f.
2.2.2 تعريف
ليكن f تطبيقا تقابلي من E نحو F
التقابل العكسي للتطبيق f هو تقابل نرمز له ب f-1,
ومعرف من F نحو E بما يلي :
y∈F; f-1(y)=x ⇔ x∈E; f(x)=y
3- مركب تطبيقين
3.1.1 مثال
f و g تطبيقان معرفان في IR كالتالي
f(x)=2x-1 و g(x)=x²-3x
احسب f(3) ثم g(f(3))
حدد g(f(x))
3.1.2 تعريف:
f تطبيق معرف على I و g تطبيق معرف على J بحيث f(I)⊂J
<>
مركب التطبيقان f و g في هذا الترتيب
ونكتب gof,
معرف كالتالي
∀x∈I : gof(x)=g(f(x)).
4- قصور وتمديد تطبيق
4.1 قصور تطبيق
4.1.1 مثال
ليكن f تطبيقا من IR نحو IR بحيث f(x)=x²
f هو بالفعل تطبيق معرف في IR,
اذا اعتبرنا تطبيقا g من IR+ نحو IR بحيث g(x)=x² فان g=f على IR+
نقول ان g هو قصور f على IR+
(لاحظ ان g تبايني و f ليس كذلك)
4.1.2 تعريف
ليكن f تطبيقا من E نحو F
نقول ان تطبيقا هو قصور لتطبيق f
على مجموعة G اذا تحققت الشروط التالية
i1. G ضمن E
i2. ∀x∈G, g(x)=f(x)
4.2 تمديد تطبيق
4.2.1 مثال
لتكن f دالة معرفة من IN نحو IR بما يلي f(x)=x
f تطبيق في IN
اذا اعتبرنا تطبيقا g من ℤ نحو IR بحيث g(x)=|x| فان g=f على IN
نقول ان g هو تمديد ل f على ℤ
4.2.2 تعريف
ليكن f تطبيقا من E نحو F
نقول ان g تمديد ل f
على H اذا تحققت الشروط التالية
1) E ضمن H
2) ∀x∈E, g(x)=f(x).