1- التطبيق

1.1 التساوي بين تطبيقين

1.1.1 تعريف

لتكن E و F مجموعتين , تكون دالة تطبيقا من E نحو F, اذا كان كل عنصر من E يقبل صورة وحيدة في F
E هي مجموعة الانطلاق و F هي مجموعة الوصول

1.1.2 التساوي

ليكن f و g تطبيقين معرفين من E نحو F
f و g متساويان ونكتب f=g اذا كان لكل x∈E: f(x)=g(x)

1.2 صورة جزء وصورته العكسية

1.2.1 صورة جزء

ليكن f تطبيقا من E نحو F و A⊂E
صورة الجزء A ب f هي جزء من F ونكتب f(A)
f(A)={y∈F / ∃x∈A: f(x)= y}

1.2.2 الصورة العكسية لجزء

نعتبر تطبيقا f معرفا من E نحو F و B⊂F
الصورة العكسية ل B ب f هي جزء A من E بحيث f(A)=B
A={x∈E / ∃y∈B: f(x)=y}

1.3 التطبيق التبايني

1.3.1 مثال

ليكن f تطبيقا معرفا من ℤ نحو IN بما يلي: f(x)= 2x²
f(1)=2 و f(-1)=2 اذن يوجد عنصران -1 و 1 من ℤ ويقبلان نفس الصورة 2 في المجموعة IN.
في هذه الحالة نقول ان التطبيق f ليس تباينيا

1.3.2 تعريف

ليكن f تطبيقا من E نحو F
نقول ان التطبيق f تبايني من E نحو F اذا كان لكل عنصر من F على الاكثر سابق في E
بتعبير آخر
f تبايني ⇔ (∀(x;x')∈E²: f(x)=f(x')⇒x=x') .

1.4 التطبيق الشمولي

1.4.1 امثلة

f تطبيق من IN نحو IR حيث f(x)=x+1

ملاحظة:

لدينا 0∈IR وليس له سابق في IN لان x+1>0 في هذه الحالة f ليس شمولي

1.4.2 تعريف

ليكن f تطبيق من E نحو F
نقول ان f تطبيق شمولي من E نحو F اذا كان كل عنصر من F يقبل على الاقل سابق في E
بتعبير آخر
f شمولي من E نحو F ⇔ (∀y∈F)∃x∈E: y=f(x)
بعبارة اخرى المعادلة f(x)=y, ذات المجهول x, تقبل على الاقل حلا واحدا في E

2- التطبيق التقابلي والتطبيق العكسي

2.1 التطبيق التقابلي

2.1.1 تعريف

ليكن f تطبيقا من E نحو F
نقول ان f تطبيق تقابلي من E نحو F اذا كان تباينيا وشموليا
f شمولي اذن المعادلة y=f(x) تقبل على الاقل حلا في E ولكن f هو كذلك تبايني الذي يتطلب ان يكون لكل عنصر من F على الاكثر سابق

2.1.2 خاصية

f تقابلي من E نحو F يكافئ (∀y∈F) ∃!x∈E: y=f(x)
بعبارة اخرى المعادلة f(x)=y
E تقبل حلا واحدا في

2.2 التطبيق العكسي

2.2.1 مثال

f تطبيق معرف من Q نحو Q بما يلي f(x)=2x+1
نبين ان f تقابل
y∈Q, y=f(x) ⇔ y=2x+1
⇔ x=(0,5)(y-1)
اذن x موجود ووحيد في Q ومنه فان f تقابل في Q
لدينا اذن y=f(x)→x=0,5(y-1) التطبيق من Q نحو Q وبالتالي : f^-1:x→0,5(x-1) هو التطبيق العكسي للتطبيق f.

2.2.2 تعريف

ليكن f تطبيقا تقابلي من E نحو F
التقابل العكسي للتطبيق f هو تقابل نرمز له ب f^-1, ومعرف من F نحو E بما يلي :
y∈F; f^-1(y)=x ⇔ x∈E; f(x)=y

3- مركب تطبيقين

3.1.1 مثال

f و g تطبيقان معرفان في IR كالتالي
f(x)=2x-1 و g(x)=x²-3x
احسب f(3) ثم g(f(3))
حدد g(f(x))

3.1.2 تعريف:

f تطبيق معرف على I و g تطبيق معرف على J بحيث f(I)⊂J <> مركب التطبيقان f و g في هذا الترتيب ونكتب gof, معرف كالتالي
∀x∈I : gof(x)=g(f(x)).

4- قصور وتمديد تطبيق

4.1 قصور تطبيق

4.1.1 مثال

ليكن f تطبيقا من IR نحو IR بحيث f(x)=x²
f هو بالفعل تطبيق معرف في IR,
اذا اعتبرنا تطبيقا g من IR+ نحو IR بحيث g(x)=x² فان g=f على IR+
نقول ان g هو قصور f على IR+
(لاحظ ان g تبايني و f ليس كذلك)

4.1.2 تعريف

ليكن f تطبيقا من E نحو F
نقول ان تطبيقا هو قصور لتطبيق f على مجموعة G اذا تحققت الشروط التالية
i1. G ضمن E
i2. ∀x∈G, g(x)=f(x)

4.2 تمديد تطبيق

4.2.1 مثال

لتكن f دالة معرفة من IN نحو IR بما يلي f(x)=x
f تطبيق في IN
اذا اعتبرنا تطبيقا g من ℤ نحو IR بحيث g(x)=|x| فان g=f على IN
نقول ان g هو تمديد ل f على ℤ

4.2.2 تعريف

ليكن f تطبيقا من E نحو F
نقول ان g تمديد ل f على H اذا تحققت الشروط التالية
1) E ضمن H
2) ∀x∈E, g(x)=f(x).