1- تعاريف وخاصيات

1.1 تساوي تطبيقين

1.1.1 تعريف

لتكن E و F مجموعتين و f علاقة من E نحو F.
نقول ان f تطبيق من E نحو F اذا كان كل عنصر من E يقبل صورة وحيدة في F بالعلاقة f.
E تسمى مجموعة الانطلاق
F تسمى مجموعة الوصول.

ملاحظة دالة عددية ليست بالضرورة تطبيقا.

1.1.2 التساوي

ليكن f و g تطبيقين معرفين من E نحو F.
f و g متساويان ونكتب f=g
اذا كان (∀x∈E): f(x)=g(x).

ملاحظة مجموعة تعريف كل من f و g هي D=E.

1.2 قصور وتمديد تطبيق

1.2.1 قصور تطبيق

مثال
لتكن f دالة عددية معرفة من IR نحو IR ب f(x)=x².
لدينا f تطبيق معرف على IR.
اذا اعتبرنا تطبيقا g معرفا من IR⁺ نحو IR
بحيث g(x)=x² فان g=f على IR⁺.
التطبيق g يسمى قصورا للتطبيق f على IR⁺.

تعريف
ليكن f تطبيقا معرفا من E نحو F.
نقول ان تطبيقا g قصور للتطبيق f على مجموعة G اذا تحقق ما يلي
(a) G⊂E
(b) (∀x∈G): g(x)=f(x).

1.2.2 تمديد تطبيق

مثال
لتكن f دالة عددية معرفة من IN نحو IR بحيث f(x)=x.
لدينا f تطبيق في IN.
اذا اعتبرنا تطبيقا g معرفا من ℤ نحو IR
بحيث g(x)=|x| فان g=f على IN
نقول ان g تمديد للتطبيق f على ℤ.

تعريف
ليكن f تطبيقا من E نحو F.
نقول ان g تمديد ل f على مجموعة H اذا تحقق ما يلي
(a) E⊂H
(b) (∀x∈E): g(x)=f(x).

1.3 صورة جزء وصورته العكسية

1.3.1 صورة جزء

ليكن f تطبيقا من E نحو F و A⊂E.
صورة الجزء A ب f هي جزء من F ونرمز له ب f(A)
f(A)={y∈F / (∃x∈A): f(x)=y}.

مثال
نضع E={-2;3;7;9}
و F={2;5;10;50;82}. لتكن f علاقة معرفة من E نحو F
حيث f(x)=x²+1.
1) بين أن f تطبيق من E نحو F.
2) لتكن A={3;7}.
حدد صورة A بالتطبيق f.

تصحيح

1) -2∈E و f(-2)=(-2)²+1=5∈F اذن -2 يقبل صورة وحيدة في F.
3∈E و f(3)=3²+1=10∈F اذن 3 يقبل صورة وحيدة في F.
7∈E و f(7)=7²+1=50∈F اذن 7 يقبل صورة وحيدة في F.
9∈E و f(9)=9²+1=82∈F اذن 9 يقبل صورة وحيدة في F.
وهذا يعني أن كل عنصر من E يقبل صورة وحيدة في f.
وبالتالي f تطبيق من E نحو F.

2) صورة A ب f
نبحث عن صور عناصر A ب f.
3∈A و f(3)= 10.
7∈A و f(7)=50.
وبالتالي f(A)={10;50} صورة A ب f.

1.3.2 الصورة العكسية لجزء

ليكن f تطبيقا معرفا من E نحو F و B⊂F.
الصورة العكسية ل B ب f هي جزء A من E بحيث f(A)=B.
A={x∈E / (∃y∈B): f(x)=y}.

تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة من المجموعة E=IR⁺
تحو المجموعة F=[-4;+∞[ ب f(x)=x²-4.
1) بين أن f تطبيق من E نحو F.
2) حدد الصورة العكسية للمجموعة B=[0;3] بواسطة التطبيق f.

تصحيح

1) ليكن x∈IR⁺ اذن x≥0 أي x²≥0
أي x²-4≥-4 اذن x²-4∈F.
العدد x²-4 وحيد في F اذن كل عنصر من E يقبل صورة وحيدة ب f
وبالتالي f تطبيق من E نحو F.

2) الصورة العكسية للمجموعة B بواسطة التطبيق f
نحدد A ضمن E بحيث f(A)=B.
ليكن y∈B.
نبحث عن x في E بحيث y=f(x).
y∈B ⇔ 0≤y≤3 ⇔ 0≤x²-4≤3
⇔ 4≤x²≤7 ⇔ √(4)≤|x|≤√(7) (x≥0)
⇔ 2≤x≤√(7) ⇔ x∈[2;√(7)]
ومنه فان A=[2;√(7)] الصورة العكسية ل B بواسطة f.

1.4 مركب تطبيقين

1.4.1 مثال

ليكن f و g تطبيقين معرفين على IR كما يلي
f(x)=2x-1 و g(x)=x²-3x.
احسب f(3) ثم g(f(3)).
حدد g(f(x)).

1.4.2 تعريف

ليكن f تطبيقا معرفا على مجموعة I
و g تطبيقا معرفا على مجموعة J بحيث f(I)⊂J.
مركب f و g هو تطبيق نرمز له ب gof ومعرف كما يلي
(∀x∈I): gof(x)=g(f(x)).

2- التطبيق التقابلي والتقابل العكسي

2.1 التطبيق التبايني

2.1.1 مثال

ليكن f تطبيقا معرفا من ℤ نحو IN بما يلي f(x)=2x²
لدينا f(1)=2 و f(-1)=2
اذن يوجد عنصران -1 و 1 من ℤ ويقبلان نفس الصورة 2 في المجموعة IN.
في هذه الحالة نقول ان التطبيق f ليس تباينيا.

2.1.2 تعريف

ليكن f تطبيقا معرفا من مجموعة E نحو مجموعة F.
نقول ان التطبيق f تبايني من E نحو F
اذا كان كل عنصر من F يقبل على الاكثر سابقا في E.
بتعبير آخر f تبايني يكافئ
(∀(x;x')∈E²): f(x)=f(x') ⇒ x=x'
أو أيضا f تبايني يكافئ
(∀(x;x')∈E²): x≠x' ⇒ f(x)≠f(x').

تمرين 1 tp

نضع E=]-1;+∞[ و F=]-∞;1[.
ليكن f تطبيقا معرفا من E نحو F كما يلي

بين أن f تطبيق تبايني من E نحو F.

تصحيح

ليكن x و y عنصرين من المجموعة E.
نبين أن اذا كان f(x)=f(y) فان x=y.

يكفي استعمال الاستلزامات التالية.

لدينا (x>-1) و (y>-1) ⇒(x+1)(y+1)≠0
اذن x-y=0 أي x=y.
لدينا اذن (∀(x;y)∈E²): f(x)=f(y) ⇒ x=y
وهذا يعني أن f تطبيق تبايني من E نحو F.

تمرين 2 tp

نضع E=[2;+∞[ نحو F=[-1;+∞[
ليكن f تطبيقا معرفا من E نحو F
بحيث f(x)=x²-4x+3.
بين أن f تطبيق تبايني من E نحو F.

تصحيح

ليكن x و y عنصرين من المجموعة E.
نبين اذا كان f(x)=f(y) فان x=y.
يكفي استعمال الاستلزامات التالية.
f(x)=f(y) ⇒ x²-4x+3=y²-4y+3
⇒ x²-4x-y²+4y=0
⇒ (x²-y²)-4(x-y)=0
⇒ (x-y)(x+y-4)=0
⇒ (x-y=0 أو x+y-4=0)
⇒ (x=y أو x+y=4).

نفترض أن x≠y اذن x+y=4.
لدينا x∈E اذن x≥2
و y∈E اذن y≥2.
بما أن x≠y فلا يأخذان اذن نفس القيمة في نفس الوقت
اذن x+y>2+2 أي x+y>4
اذن x+y≠4 وهذا يتناقض مع كون x+y=4
وبالتالي x=y.
لدينا اذن f(x)=f(y) ⇒ x=y
ومنه فان f تطبيق تبايني من E نحو F.

2.2 التطبيق الشمولي

2.2.1 مثال

ليكن f تطبيقا من IN نحو IR حيث f(x)=x+1

ملاحظة لدينا 0∈IR وليس له سابق في IN
لان x+1>0 في هذه الحالة نقول ان التطبيق f ليس شمولي.

2.2.2 تعريف

ليكن f تطبيق من مجموعة E نحو مجموعة F.
نقول ان f تطبيق شمولي من E نحو F اذا كان كل عنصر من F يقبل على الاقل سابق في E.
بتعبير آخر f شمولي من E نحو F يكافئ
(∀y∈F)(∃x∈E): y=f(x)
بعبارة اخرى المعادلة f(x)=y ذات المجهول x تقبل على الاقل حلا واحدا في E.

تمرين 1 tp

نضع E=IR و F=[-1;+∞[.
ليكن f تطبيقا معرفا من المجموعة E نحو المجموعة F
بما يلي f(x)=x²+2x.
بين أن f تطبيق شمولي من E نحو F.

تصحيح

ليكن (y∈F) (?∃ x∈E)/ f(x)=y.
f(x)=y ⇒ x²+2x=y
⇒ x²+2x+1=y+1 ⇒ (x+1)²=y+1
⇒ |x+1|=√(y+1)
لدينا (y≥-1⇒y+1≥0)
اذن x+1=√(y+1) أو x+1=-√(y+1)
⇒ x=-1+√(y+1) أو x=-1-√(y+1)

لدينا -1+√(y+1)∈IR و -1-√(y+1)∈IR
اذن y يقبل على الأقل سابقا في E=IR
وبالتالي f تطبيق شمولي من E نحو F.
لاحظ أن التطبيق f ليس تطبيقا تباينيا.
لأن العدد 8 يقبل سابقين مختلفين
2 و -4 يعني f(2)=f(-4)=8.

2.3 التطبيق التقابلي

2.3.1 تعريف

ليكن f تطبيقا من E نحو F
نقول ان f تطبيق تقابلي من E نحو F اذا كان تباينيا وشموليا.

ملاحظة
اذا كان f تطبيقا تقابليا فان f شمولي اذن المعادلة y=f(x) تقبل على الاقل حلا في E ولكن f هو كذلك تبايني الذي يتطلب ان يكون لكل عنصر من F على الاكثر سابق.

2.3.2 خاصية

f تقابلي من E نحو F يكافئ (∀y∈F)(∃!x∈E): y=f(x)
بعبارة اخرى
f تقابلي من E نحو F يكافئ المعادلة f(x)=y تقبل حلا واحدا في E.

مثال
سبق أن بينا أن التطبيق f
المعرف من E=IR نحو F=[-1;+∞[
ب f(x)=x²+2x شمولي ولكن ليس تبايني
اذن f ليس تقابلي من E نحو F.

تمرين 1 tp

ليكن f تطبيقا معرفا من المجموعة
E=[-1;+∞[ نحو المجموعة F=[-2;+∞[
بما يلي f(x)=√(x+1)-2.
بين أن f تطبيق تقابلي من E من F.

تصحيح

ليكن y∈F اذن y≥-2 أي y+2≥0.
f(x)=y ⇔ √(x+1)-2=y
⇔ x+1=(y+2)² ⇔ x=-1+(y+2)²≥-1
لأن (y+2)²≥0 اذن x موجود ووحيد في E وبالتالي f تقابل من E نحو F.

2.4 التقابل العكسي

2.4.1 مثال

ليكن f تطبيقا معرفا من Q نحو Q بما يلي f(x)=x+4.
نبين ان f تقابل. ليكن y∈Q.
y=f(x) ⇔ y=x+4 ⇔ x=y-4.
y∈ℚ ⇔ y-4∈ℚ
اذن x موجود ووحيد في Q ومنه فان f تقابل في Q.
لدينا اذن y=f(x) → x=y-4.

التطبيق g المعرف من Q نحو Q ب g(x)=x-4 يسمى تقابل عكسي للتقابل f
ونكتب f^-1(x)=x-4.

2.4.2 تعريف

ليكن f تطبيقا تقابلي من E نحو F
التقابل العكسي للتطبيق f هو تقابل نرمز له ب f^-1 ومعرف من F نحو E بما يلي
(y∈F): f^-1(y)=x ⇔ (x∈E): f(x)=y.

تمرين 2 tp

ليكن f تطبيقا من E=]-∞;-2] نحو F=]-∞;2]
بما يلي f(x)=-(x+2)²+2.
بين أن f تقابل من E نحو F وحدد تقابله العكسي.