Exercice 1 tp

Soit n∈IN.
Déterminer toutes les valeurs de n sachant que 7|n²+2n-8.

Correction

n²+2n-8=n²+2n-15+7
=(n+5)(n-3)+7
et on a aussi 7|n²+2n-8 donc n²+2n-8=7k tel que k∈IN*
donc (n+5)(n+3)=7(k-1) tel que (k-1)∈IN.

On a donc 7|n+5 ∨ 7|n-3.
ou encore (n≡-5[7]) ∨ (n≡3[7])
ainsi (n≡2[7]) ∨ (n≡3[7]).

Exercice 2 tp

Soit n∈IN.
montrer que 7²ⁿ⁺³-5²ⁿ⁺²≡0[3].

Correction

(a) On a d'une part
7²ⁿ⁺³=343.(49ⁿ)
et 5²ⁿ⁺²=25.(25ⁿ).

Puisque 3|24 ou encore 3|(49-25)
alors 49≡25[3]
ainsi (∀n∈IN) (49)ⁿ≡25ⁿ[3]
ou encore 7²ⁿ≡5²ⁿ[3].
(b) Et d'autre part
343-25=318
et puisque 3|318 alors 343≡25[3].

On a donc

{	72n ≡ 52n [3]	⇒ 343.52n ≡ 25.52n [3]
	343 ≡ 25 [3]

ainsi 7²ⁿ⁺³-5²ⁿ⁺²≡0[3].

Exercice 3 tp

Soit n∈IN.
Montrer que 11|(5³ⁿ⁺¹-3⁴ⁿ⁺³).