تمارين

حل في المجموعة ℤ/5ℤ المعادلات التالية
1) 3x =2
2) x⁴ = 1
3) x²+2x- 3 = 0

تصحيح

لدينا ℤ/5ℤ={0; 1;2;3;4}
نستعمل جدول الموافقة بترديد 5

x	1	2	3	0	4
3x	0¯	¯3	¯1	¯4	¯2
x4	¯0	¯1	¯1	¯1	¯1
x²+2x-3	-3¯	¯0	¯0	¯2	¯1

1) 3x =2 ⇔ x=4
اذن S={4}
2) x⁴ =1⇔ x=1 او x=2 او x=3 او x=4
اذن S={1;2; 3;4}
3) x²+2x-3 = 0 ⇔x=2
اذن S={1;2 }

تمرين

حل في ℤ/9ℤ المعادلة 3.x=3

تصحيح

نستعمل جدول الموافقة بترديد 5

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8
3x	0	3	6	0	3	6	0	3	6

اذن S={1;4;7}

4.3 المجموعة Z/pZ حيث p عددا اوليا

4.3.1 تعريف:

ليكن x∈Z/pZ
نقول ان x يقبل مقلوبا اذا وجد عنصر x' في Z/pZ بحيث x.x'=1

4.3.2 امثلة

3 عنصرا من Z/5Z
وليكن x عنصرا من Z/5Z بحيث x.3=1 نبحث عن x ان وجد
x.3=1 ⇔ 3x≡1[5]
يمكن ملاحظة x=2 لكن نبحث عنه بواسطة الموافقة بترديد 5 باستعمال مبرهنة اقليدس
5=1.3+2 ; 3=1.2+1
اذن 1=3-1.2=3-1.(5-1.3)=2.3-1.5
ليكن 1≡2.3[5] اذن x≡2.3x[5] وبما ان 3x≡1[5] اي 2.3x≡2[5] اذن x≡2[5] وبالتالي فان 2 هو مقلوب ل 3

4.3.3 خاصيات

1) ليكن p عدد اولي
∀x∈Z*: ∃x'∈Z , x.x'≡1[p]
2) ليكن p عدد اولي
∀(x;x')∈Z/pZ: x.x'=x=0 او x'=0

برهان

x.x'=0 ⇒ x.x'=0⇒ x.x'≡0[p]
⇒ p|x.x'
⇒ p|x او p|x' ( اولي p)
⇒ x≡0[p] او x'≡0[p]
⇒ x=0 او x'=0

ملاحظة

اذا كان p ليس اوليا اي عددا مركبا فان الخاصية السابقة غير صحيحة
مثال مضاد : ناخذ عددا مركبا p=15=3.5
لدينا 3.5=0
ولكن
3≠0 و 5≠0

تمرين 1

ليكن n∈IN باستعمال الموافقة بين ان n(n+1) عددا زوجيا

تصحيح

يمكن انجاز هذا السؤال بفصل الحالات (اذا كان n زوجيا والحالة اذا كان n فرديا)
سنقوم بنفس الطريقة ولكن باستعمال الموافقة بترديد 2
ℤ/2ℤ={0 ; 1}
للتذكير ℤ=1, 0={x∈IN/ x=2k; k∈IN} وهذه بالضبط مجموعة الاعداد الزوجية
و 1={x∈IN / x=1+2k; k∈IN} مجموعة الاعداد الفردية
نعود الى السؤال للبرهنة على ان n(n+1) زوجيا يكفي ان نبين ان 2|n(n+1) اي n(n+1)≡0[2]
لدينا n∈IN اذن اذا كان n∈0 فان 0.(0+1)=0 عدد زوجي
واذا كان n∈1 فان 1.(1+1)=2 هو ايضا عدد زوجي
وبالتالي ∀n∈IN: n(n+1) عدد زوجي .

تمرين 2

حل في Z المعادلة 5x≡10[37]
تصحيح: نبحث عن مقلوب للعدد 5 بترديد 37 اي نبحث عن u بحيث 5.u≡1[37]
باستعمال خوارزمية اقليدس
37=7.5+2
5=2.2+1 اذن 1=5-2.2=5-2.(37-7.5)=15.5-2.37
اذن 15.5≡1[37]
لدينا من جهة 15.5.x=1.x[37] ومن جهة اخرى 15.5.x=15.10[37]
وباستعمال العلاقة المتعدية فان x=150[37]
ونعلم ان 150>37 اذن يمكن الاختزال
150=4.37+2 اذن x≡2[37]
وبالتالي S={2+37k; k∈Z}

تمرين 3

لتكن a=137 ; b=123 ; n=7.
بين ان 137≡123[7]

تصحيح

لدينا 137=19.7+4 حيث 0≤r=4<7
و 123=17.7+4 حيث 0≤r'=4< 7
اذن a و b لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على 3
ومنه فان 137≡123[7]
بالاضافة الى ذلك فان 137≡123≡4[7]

تمرين 4

ليكن n عددا طبيعيا
حدد قيمة n بحيت n+9|n+28

تصحيح

n+9|n+28⇔∃k∈IN*, n+28=k(n+9)
⇔∃k∈IN*,19=(k-1)(n+9)
k∈IN*⇔k-1∈IN
اذن n+9|19
19 عدد اولي اذن
n+9=1 ∨ n+5=19 ∨ n+9=-1 ∨ n+9=-19
اذن
n=-8∉IN ∨ n=14 ∨ n=-10∉IN ∨ n=-28∉IN
وبالتالي n=14