Arithmétique dans ℤ (5)
2.3 Théorème fondamental de l’arithmétique
2.3.1 Théorème
Soit n un nombre entier ≥2.
Il existe p1 ; p2 ; .. ; pm
des entiers premiers deux à deux différents et uniques et des entiers naturels non nuls
a1 ; a2 ; ...
; am
tel que n=(a1p1)×..×(ampm).
Remarques 1) Si n est un entier négative, il suffit de multiplier par -1.
2) Si n∈ℤ\{-1;0;1}
alors n=±a1p1×a2p2× .. ×ampm.
Cette écriture est appelée décomposition primaire de n.
Exemples
Décompositions de 140 et de 945
140=2²×5×7 et 945=3³×5×7.
Exercice 1 tp
Décomposer 14300 et 8750 en facteurs premiers.
Correction
| 14300 | 2 | 8750 | 2 | |||
| 7150 | 2 | 4375 | 5 | |||
| 3575 | 5 | 875 | 5 | |||
| 715 | 5 | 175 | 5 | |||
| 143 | 11 | 35 | 5 | |||
| 13 | 13 | 7 | 7 | |||
| 1 | 1 |
14300 = 2².5².11.13.
8750 = 2.54.7.
2.3.2 Théorème
Soient x= a1p1.a2p2....ampm
et y= a1q1.a2q2....amqm deux entiers naturels tels que
ai sont des nombres premiers deux à deux différents
et pi;qi∈IN avec (1≤i≤m).
1) pgcd(x;y)=
a1inf(p1;q1) ×
a2inf(p2;q2) ×...×
aminf(pm;qm).
2) ppcm(x;y)=
a1sup(p1;q1) ×
a2sup(p2;q2) ×...×
amsup(pm;qm).
Notons qu'on peut écrire x et y autrement.
| x = | m ∏ i=1 |
aipi | y = | m ∏ i=1 |
aiqi | |
| x∧y = | m ∏ i=1 |
aiinf(pi;qi) | x∨y = | m ∏ i=1 |
aisup(pi;qi) | |
| x.y = (x∧y).(x∨y) = | m ∏ i=1 |
aipi+qi |
Remarque x et y n'ont pas forcement le même nombre de facteurs premiers. Les facteurs manquants ak de l'un ou l'autre sont remplacés par a°k=1.
Exercice 1 tp
Soient x=3510 et y=1575. Déterminer x∧y et x∨y.
Correction
1) x=2×3³×5×7°×11°×13
et y=2°×3²×5²×7×11°×13°
donc x∧y=2inf(1;0)×3inf(3;2)×5inf(1;2)× 7inf(0;1)×11inf(0+0)×13inf(1;0)
=20×32×51×70×110×130=1×9×5×1×1=45.
2) x∨y=2sup(1;0)x3sup(3;2)x5sup(1;2)× 7sup(0;1)×11sup(0+0)×13sup(1;0)
=21×33×52×71×110×131
=2×27×25×7×13=122850.
3) Vérification xy=45x122850=5528250.
2.3.3 Théorème
Soit n=a1p1.a2p2....ampm la décomposition de l'entier non nul n en produit de facteurs premiers.
Le nombre de diviseurs positifs de n est (1+p1)(1+p2)...(1+pm).
Exemple
On pose n=2200=2³.5².11.
Les diviseurs de n sont 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ;
11 ; 20 ; 22 ; 25 ; 40 ; 44 ; 50 ; 55 ; 88 ; 100 ; 110 ; 200 ; 220 ; 440 ; 275 ; 550 ; 1100 ; 2200.
Il y'a donc 24 diviseurs de 2200
qui vérifie bien le théorème
(1+3)(1+2)(1+1)=24.
Exercice 2 tp
1) Décomposer 1232 et 1904 en produit de facteurs premiers.
2) Déduire 1904∧1232 et 1904∨1232.