1- مرجح n نقطة حيث n≤4

1.1 النقط المتزنة

تعريف

لتكن A نقطة من ةالمستوى و α ∈IR الزوج (A;α) يسمى نقطة متزنة او A معينة بالعدد α ويسمى وزن A

1.2 مرجح نقطتين

1.2.1 انشطة

1) بين ان ∃!G, 2(GA^→)+GB^→=O^→
2) بين ان ∃!G, GA^→-3GB^→=O^→
3) هل توجد نقطة G معرفة كما يلي 2Ga^→-2GB^→=O^→

1.2.2 مبرهنة وتعريف

لتكن (A;α) و (B;β) نقطتين متزنتين حيثα+β ≠ 0
توجد نقطة وحيدة G معرفة ب αGA^→+βGB^→=O^→
النقطة G تسمى مرجح (A;α) و (B ;β)

ملاحظة

اذا كان α+β=0 قان (A;α) و (B;β) لا تقبلان مرجحا

1.2.3 مركز تقل نقطتين

تعريف مركز ثقل نقطتين A و B هو مرجح النقطتين المعينتين بنفس المعامل المختلف عن 0 وايضا طذلك منتصف القطعة [AB]

تمرين

لتكن A; B و C ثلاث نقط بحيث
3AC^→=4BC^→
1) بين ان A مرجح النقطتين المتزنتين (B;4) ; (C;-1)
2) لتكن D نقطة بحيث 2AC^→+4BD^→=O^→
بين ان A مركز ثقل B; D

تصحيح

1) حسب علاقة شال
3AC^→=4BC^→⇔3AC^→=4(AC^→-AB^→)
⇔ 4AB^→+3AC^→-4AC^→=O^→
⇔4AB^→-AC^→=O^→
اذن A مرجح النقطتين المتزنتين (B;4) ; (C;-1)
2) لدينا 2AC^→+4BD^→=O^→
⇔2AC^→+4(BA^→+AD^→)=0^→
⇔2AC^→-4AB^→+4AD^→ =O^→
⇔8AB^→-4AB^→+4AD^→ =O^→
⇔4AB^→+4AD^→=0^→
⇔AB^→+AD^→=0^→
( لان AC^→=4AB^→
اي 2AC^→=8AB^→)
اذن A مرجح (B;1);(D;1) وهذا يعني A مركز ثقل B; D

1.3 مرجح ثلاث نقط

1.3.1 مبرهنة وتعريف

(A; a); (B; b) و (C; c) ثلاث نقط متزنة بحيث a+b+c≠0
توجد نقطة وحيدة G بحيث
aGA^→ + bGB^→ +cGC^→ = O^→
النقطة G تسمى مرجح النقط (A;a) ; (B;b) و (C;c) .

ملاحظة

اذا كان a+b+c = 0 فان (A;a) ; (B;b) و (C;c) لا تقبل مرجحا

1.3.2 مركز ثقل

تعريف

مركز ثقل A ; B و C , هو مرجح النقط A ; B و C المعينة بنفس المعامل المخالف ل 0
ونقول ايضا مركز ثقل A; B و C هو مرجح النقط (A;1) ; (B;1) و (C;1).

1.3.3 خاصية

متوسطات متلث تتقاطع في G مركز ثقل ( المثلث ABC)
GA^→+GB^→+GC^→=O^→
واذا كانت A' ; B' و C' هي على التوالي منتصفات القطع [BC]; [AC] و [AB] فان

AG→=	2	AA'→	; BG→=	2	BB'→
	3			3

CG→=	2	CC'→
	3

1.4 مرجح اربع نقط

1.4.1 مبرهنة وتعريف

(A ; a) ; (B ; b) ; (C ; c) و (D;d) اربع نقط متزنة بحيث a+b+c+d ≠0
توجد نقطة وحيدة G بحيث
aGA^→+bGB^→+cGC^→+dGD^→= O^→
النقطة G تسمى مرجح النقط (A ; a) ; (B ; b) ; (C ; c) و (D;c).

ملاحظة

اذا كان a+b+c+d = 0 فان (A ; a) ; (B ; b) ; (C ; c) و (D;d) لا تقبل مرجحا

1.4.2 مركز ثقل اربع نقط

Dتعريف مركز ثقل A ; B ; C و D هو مرجح A ; B ; C و D المعينة بنفس المعامل المخالف ل 0
ونقول ايضا A ; B ; C و D مرجح (A;1);(B;1);(C;1) و (D;1)

2- الصمود

صمود مرجح

2.1.1 خاصية

مرجح نقط متزنة لا يتغير اذا ضرب معاملات هذه النقط بنفس العدد غير الصفر

برهان

(حالة نقطتين)
G مرجح (A;a) و (B;b) بحيث a + b≠ 0 و k≠0
aGA^→ + bGB^→ = O^→ ⇔ k(aGA^→) + bGB^→ )=k O^→
⇔ kaGA^→ + kbGB^→ = O^→
وبما ان ka+kb=k(a + b) ≠0
فان G هي ايضا مرجح ل (A;ka) و (B;kb)
نفس الطريقة بالنسبة ل 3 او 4 نقط

تمرين 1

G مرجح (A;k) و (B;t) حدد k و t في كل من الحالتين التاليتين
GA^→ + GB^→ = 2AB^→
2GA^→ + AB^→ = O^→

تمرين 2

ليكن (ABC) مثلثا و D نقطة بحيث AD^→ = 1,5AB^→
1) تحقق ان A مرجح (B;3) و (D;-2)
2) انشئ G مرجح (C;3) و (D;-2)
3) بين ان DG^→ = 3DC^→ ثم استنتج ان AG^→ و BC^→ مستقيميتان
4) حدد مجموعة النقط M من المستوى بحيث
||-2MD^→+3MB^→||=||-2MD^→+3MC^→||