1- Barycentre de n points (n≤4)

1.1 Points pondérés

1.1.1 Définition

Soit A un point du plan et α∈IR.
Le couple (A;α) est appelé point pondéré
ou encore A est affecté par le nombre α.
Le nombre α est appelé poids du point A.

1.1.2 Exemples

Soient (B;3) et (E;-4) deux points pondérés.
Le point B est affecté par le nombre 3 et le nombre 3 est le poids du point A.
Le point E est affecté par le nombre -4 et le nombre -4 est le poids du point E.

1.2 Barycentre de deux points

1.2.1 Activité

Soient A et B deux points du plan P.
1) Montrer (∃!G∈P): 2(GA^→)+GB^→=O^→.
2) Montrer (∃!G∈P): GA^→-3GB^→=O^→.
3) Existe t'il un point G défini par 2Ga^→-2GB^→=O^→ ?

1.2.2 Théorème et définition

Soient (A;α) et (B;β) deux points pondérés tels que α+β≠0.
Il existe un seul point G défini par αGA^→+βGB^→=O^→.
Le point G est appelé Barycentre des points pondérés (A;α) et (B ;β).

Remarque Si α+β=0 alors (A;α) et (B;β) n'ont pas de barycente.
Exemple: les deux points pondérés (E;-5) et (F;5) n'ont pas de barycente car -5+5=0.

1.2.3 Centre de gravité de deux points

Définitions
1) Le centre de gravité de deux points A et B est le barycentre de A et B afféctés par le même coefficient différent de 0.
2) Le centre de gravité de deux points A et B est le milieu du segment [AB].

Exercice 1 tp

Soient A ; B et C trois points tels que
3AC^→=4BC^→.
1) Montrer que A est le barycentre des points pondérés (B;4) et (C;-1).
2) Soit D un point tel que 2AC^→+4BD^→=O^→.
Montrer que A est le centre de gravité de B et D.

Correction

1) On utilise la relation de chasles
3AC^→=4BC^→⇔3AC^→=4(AC^→-AB^→)
⇔ 4AB^→+3AC^→-4AC^→=O^→
⇔4AB^→-AC^→=O^→
donc A est le barycentre des points pondérés (B;4) ; (C;-1).
2) 2AC^→+4BD^→=O^→
⇔2AC^→+4(BA^→+AD^→)=0^→

⇔2AC^→-4AB^→+4AD^→ =O^→
⇔8AB^→-4AB^→+4AD^→ =O^→
⇔4AB^→+4AD^→=0^→
⇔AB^→+AD^→=0^→
( car AC^→=4AB^→ ou encore 2AC^→=8AB^→)
donc A est le barycentre des points pondérés (B;1) et(D;1)
ainsi A est bien le centre de gravité des points B et D.