Le barycentre dans le plan (8)
Exercice 1 tp
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé
(O;i→;j→). On considère dans ℙ les points A(1;-3); B(-4;1) C(3;1) et H(2;-1).
1) Montrer que les points pondérés (A;1) ; (B;2) et (C;1) admettent un barycentre G
2) Montrer que G est le milieu du segment [HB].
3) Déterminer G(xG;yG).
4) Déterminer l'ensemble (C) des points M(x;y) du plan tel que
||MA→+3MB→+MC→||=8.
5) Montrer que l'ensemble (C) est défini par l'équation suivante
x²+y²+2x-3=0.
Correction
1) (A;1) ; (B;2) et (C;1) admettent un barycentre G
car 1+2+1=4≠0.
2) (A;1) ; (C;1) admettent un barycentre et exactement un centre de gravité K car 1+1=2≠0
et de plus K est le milieu du segment [AC].
Pour tout M du plan on a
MA→ + MC→ = 2MK→
en particulier pour M=O
OA→ + OC→ = 2OK→
Ou encore
{ | xK = | 1+3 | = | 4 |
2 | 2 | |||
yK = | -3+1 | = | -2 | |
2 | 2 |
donc K(2;-1) et de plus K=H
ainsi G est le barycentre des points pondérés (B;2) et (H;2)
et puisque B et H ont le même poids 2 alors G est le milieu du segment [HB].
3) Les coordonnées de G. On a H(2;-1) et B(-4;1) donc
{ | xG = | 2+(-4) | = | -2 |
2 | 2 | |||
yG = | -1+1 | = | 0 | |
2 | 2 |
ainsi G(-1 ; 0).
4) G est le barycentre des points pondérés
(A;1) ; (B;2) et (C;1) signifie que pour tout points M du plan
MA→+2MB→+MC→= 4MG→
donc ||MA→+2MB→+MC→||=8
⇔ ||4MG→||=8 ⇔ ||MG→||=2
⇔ MG=2
MG=2 signifie que M est à 2 du point G ou encore M appartient au cercle de centre G et de rayon 2.
5) MG=2 ⇔ GM²=4
⇔ (x-(-1))²+(y-0)²=4
⇔ x²+2x+1+y²=4
⇔ x²+y²+2x-3=0
ainsi l'ensemble des points M(x;y) du plan tel que
||MA→+3MB→+MC→||=8 est un cercle de centre G et de rayon 2
et de plus il est défini par l'équation
x²+y²+2x-3=0.