1- الاشتقاق في نقطة والتاويل الهندسي للعددالمشتق

1.1 الاشتقاق في نقطة

1.1.1 تعريف

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I
; a∈I نقول ان الدالة f قابلة للاشتقاق في نقطة a يعني يوجد عدد حقيقي L بحيث

lim x→a	f(x)-f(a)		=L
	x-a

العدد L يسمة العدد المشتق للدالة f في النقطة a , ونرمز له ب f'(a)
ونكتب

lim x→a	f(x)-f(a)		=f'(a)
	x-a

1.2 التاويل الهندسي

1.2.1 تقديم

لتكن f دالة قابلة للاشتقاق في a
اذن:

lim x→a	f(x)-f(a)		=f'(a)
	x-a

يكن (C) المنحنى الممثل للدالة f و A(a;f(a))∈(C).
اذا كانت M(x;y)∈Cf, فان العدد

f(x)-f(a)
x-a

هو المعامل الموجه للمستقيم (AM), واذا كانت النقطة M تنتقل على المنحنى الى ان تنطبق مع النقطة A, فان المستقيم (AM) ياخذ وضعية وحيدة هي وضعية المستقيم (T) الذي يمس المنحنى في نقطة واحدة A=M

ميله العدد

lim x→a	f(x)-f(a)		=f'(a)
	x-a

اذن المستقيم (T) معادلته هي
y=f'(a)(x-a)+f(a) ويسمى مماسا للمنحنى (C) في النقطة A .

مثال 1

f(x)=x²
f قابلة للاشتقاق في 1
ثم حدد معادلة المماس عند النقطة A(-2;f(-2))

مثال 2

f(x)=x³
بين ان f قابلة للاشتقاق في 1
ثم حدد معادلة المماس عند النقطة A(1;f(1))

تصحيح

lim x→1	f(x)-f(1)	=	lim x→1	x³-1³
	x-1			x-1
lim x→1	f(x)-f(1)	=	lim x→1	(x-1)(x²+x+1)
	x-1			x-1

= lim_x→2 (x²+x+1) =4
وهذا يعني ان الدالة قابلة للاشتقاق في 1 والعدد المشتق هو f'(1)=4
وبالتالي الدالة f تقبل مماسا عند A(1;1) معادلته هي
T: y=f'(1)(x-1)+f(1)
T: y=4x-3

تقريب تآلفي

لتكن f دالة قابلة للاشتقاق في a
الدالة x→f'(a)(x-a)+f(a) هي تقريب تآلفي للدالة f في النقطة a
(اي f(a+h)≃hf'(a)+f(a); h→0)

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة ب f(x)=√(x)
1)حدد التقريب التآلفي f(1+h) بجوار 0 ?
2) تطبيق: حدد قيمة مقربة للعدد √(1,005)

تصحيح

لدينا : f(a+h)≃hf'(a)+f(a); h→0
و f(1)=1 اذن يجب حساب العدد المشتق f'(1)

	lim x→1	f(x)-f(1)
		x-1
=	lim x→1	1
		√(x)+1

اذن f'(1)=0,5
وبالتالي f(1+h)≃(0,5)h+1
لاحظ ان √(1,005)=√(1+0,005)

0,005 يقترب من 0 والدالة x→√(x) قابلة للاشتقاق في 1 اذن
f(1+0,005)≃0,005f'(1)+f(1) اي √(1,005)≃0,005×(0,5)+1
ومنه فان √1,005 ≃1,0025

2- الاشتقاق على مجال

2.1 تعاريف

نقول ان الدالة f قابلة للاشتقاق على المجال I, (I⊂Df) يعني ان الدالة f قابلة للاشتقاق في كل نقطة من المجال I
ونعني بالدالة المشتقة للدالة f على المجال I, والتي نرمز لها ب f', الدالة التي تربط كل عنصر من x I بالعدد المشتق f'(x)

2.2 مشتقة الدوال :x→a, x→ax و x→xⁿ

2.2.1 خاصيات

لتكن f دالة عددية ذات المتغير x a∈IR; n∈IN*
f' الدالة المشتقة للدالة f.
اذا كان f(x)=a فان f'(x)=0
اذا كان f(x)=ax فان f'(x)=a
اذا كان f(x)=xⁿ فان f'(x)=nx^n-1
نبين ان (ax)'=a
نبين ان f قابلة للاشتقاق في عدد مثلا b

lim x→b	f(x)-f(b)	=	lim x→b	ax-ab
	x-b			x-b
=	lim x→b	a(x-b)		= a
		x-b

اذن f قابلة للاشتقاق في b وبالتالي f قابلة للاشتقاق في كل عدد حقيقي x ومنه فان الدالة f قابلة للاشتقاق على IR ودالتها المشتقة هي الدالة للثابتة f' المعرفة ب f'(x)=a
نبين ان (x²)=2x

lim x→b	f(x)-f(b)	=	lim x→b	x²-b²
	x-b			x-b
=lim x→b	(x+b)(x-b)	=	lim x→b	x+b=2b
	x-b

اذن f قابلة للاشتقاق في b وبالتالي f قابلة للاشتقاق في كل عدد حقيقي x ومنه فان الدالة f قابلة للاشتقاق على IR ودالتها المشتقة هي الدالة f' المعرفة ب f'(x)=2x
ونعمم (xⁿ)'=nx^n-1 حيث n∈IN*

مثال 1

1) f(x)=5⇒ ∀x∈IR, f'(x)=0
2) f(x)=-17⇒ ∀x∈IR, f'(x)=0

مثال 2

f(x)=x²
f قابلة للاشتقاق على IR
∀x∈IR, f'(x)=2x

مثال 3

f(x)=x³
f قابلة للاشتقاق على IR
∀x∈IR, f'(x)=3x²

مثال 4

f(x)=x⁴
f قابلة للاشتقاق على IR
∀x∈IR, f'(x)=4x³

مثال 5

f(x)=x⁵
f قابلة للاشتقاق على IR
∀x∈IR, f'(x)=5x⁴