Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation (14)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = x
√(|x+1|)

1) Déterminer D, le domaine de définition de f.
2) Calculer les limites suivantes


lim
(-1)
f(x)
lim
-∞
f(x)
lim
+∞
f(x)

3) Calculer f'(x) et étudier son signe puis tracer le tableau de variations de f sur D.

Correction

1) D={x∈IR/ |x+1|> 0} ={x∈IR/ x+1≠0}
=]-∞;-1[∪]-1;+∞[.
On peut écrire f(x) sans valeur absolue
x≥1 ⇔ |x+1|=x+1.
x≤1 ⇔ |x+1|=-x-1.

Donc

{ f(x) = x si x< -1
√(-x-1)
f(x)= x si x> -1
√(x+1)

lim
-∞
x =
lim
-∞
x√(-x-1)
√(-x-1) -x-1
=
lim
-∞
x
lim
-∞
√(-x-1)
-x-1
=
lim
-∞
x
lim
-∞
√(-x-1)
-x

lim
-∞
f(x) = = -1.(+∞) = - ∞

lim
+∞
x =
lim
+∞
x√(x+1)
√(x+1) x+1
=
lim
+∞
x
lim
+∞
√(x+1)
x+1
=
lim
+∞
x
lim
+∞
√(x+1)
x

lim
+∞
f(x) = 1.(+∞) = + ∞

On a |x+1|≥0 donc


lim
-1
x = -1 - ∞
√(|x+1|) 0+

Ainsi


lim
-1
f(x) = - ∞

2) Monotonie de f sur I=]-∞;-1[

f(x) = x si x< -1
√(-x-1)

x→(-x-1) est strictement positive sur I et dérivable sur IR et en particulier sur I.

De même x→x est dérivable sur I alors f est dérivable sur I et on a

f '(x) = √(-x-1) - x(√(-x-1))'
(√(-x-1))²
= 2(√(-x-1))² + x
2(-x-1)√(-x-1)

Ainsi

f '(x) = -x-2
2(-x-1)√(-x-1)

f'(x) est de signe de -x-2.
f'(x)=0 ⇔ -x-2=0⇔x=-2
f est strictement croissante sur ]-∞;-2]
et strictement décroissante sur [-2;-1[.

Monotonie de f sur J=]-1;+∞[.

f(x) = x si x> -1
√(x+1)

x→(x+1) est strictement positive sur J et dérivable sur IR et en particulier sur J
de même x→x est dérivable sur J
alors f est dérivable sur J.

Soit x∈J

f '(x) =√(x+1) - x(√(x+1))'
(√(x+1))²
= 2(√(x+1))² - x
2(x+1)√(x+1)
= x+2
2(x+1)√(x+1)

f'(x) est de signe de x+2.
f'(x)=0⇔ x+2=0⇔x=-2
-2∉I2 et x+2>0 et donc f est strictement croissante sur ]-1;+∞[.
La fonction dérivée de f est définie par

{ f '(x) = -x-2 si x <-1
2(-x-1)√(-x-1)
f '(x) = x+2 si x>-1
2(x+1)√(x+1)

Tableau de variations de f

x -∞ -2 -1 +∞
f'(x) + 0 - +
f

-∞

-2


-∞


-∞

+∞