الاشتقاق ومعادلات تفاضلية (4)
تمرين 12 tp
نعتبر الدالة f المعرفة ب
| f(x)= | x |
| √(|x+1|) |
1) احسب نهايات الدالة f عند محداتها
2) احسب f'(x) ثم ادرس اشارتها على مجموعة تعريفها وانشئ جدول تغيراتها
تصحيح
1) D={x∈IR/ |x+1|> 0}
={x∈IR/ x+1≠0}
=]-∞;-1[∪]-1;+∞[
اولا يمكن ان نكتب f(x) بدون استعمال القيمة المطلقة
نعلم ان
x≥ 1 ⇔ |x+1|=x+1
x≤ 1 ⇔ |x+1|=-x-1
ومنه فان
| { | f(x)= | x | ; x< -1 |
| √(-x-1) | |||
| f(x)= | x | ; x> -1 | |
| √(x+1) |
lim -∞ | x | = | lim -∞ | x√(-x-1) |
| √(-x-1) | -x-1 | |||
| = | lim -∞ | x | lim -∞ | √(-x-1) |
| -x-1 | ||||
| = | lim -∞ | x | lim -∞ | √(-x-1) |
| -x |
lim -∞ | f(x)= | =-1.(+∞)= - ∞ |
lim +∞ | x | = | lim +∞ | x√(x+1) |
| √(x+1) | x+1 | |||
| = | lim +∞ | x | lim +∞ | √(x+1) |
| x+1 |
| = | lim +∞ | x | lim +∞ | √(x+1) |
| x |
lim +∞ | f(x) | = 1.(+∞) = + ∞ |
|x+1|≥0 اذن lim|x+1|≥0 ومنه فان lim√(|x+1|)≥0
lim -1 | x | = | -1 | - ∞ |
| √(|x+1|) | 0+ |
lim -1 | f(x) | = - ∞ اذن |
ملاحظة: يمكن تحديد نهاية f
عند -1+
وعند -1-
2) ندرس رتابة الدالة f على المجال ]-∞;-1[
| f(x)= | x | ; x< -1 |
| √(-x-1) |
x→(-x-1) موجبة قطعا على المجال I1 وقابلة للاشتقاق على IR وبالخصوص على I1 وكذلك الدالة x→x قابلة للاشتقاق على I1 وبالتالي f قابلة للاشتقاق على I1
| f '(x)= | √(-x-1) - x(√(-x-1))' |
| (√(-x-1))² | |
| = | 2(√(-x-1))² + x |
| 2(-x-1)√(-x-1) | |
| = | -x-2 |
| 2(-x-1)√(-x-1) |
لدينا اشارة f'(x) هي اشارة -x-2
f'(x)=0⇔ -x-2=0⇔x=-2
f تزايدية قطعا على ]-∞;-2] وتناقصية قطعا على [-2;-1[
ندرس رتابة الدالة f على المجال ]-1;+∞[
| f(x)= | x | ; x> -1 |
| √(x+1) |
لدينا x→(x+1) موجبة قطعا على المجال I2 وقابلة للاشتقاق على IR وبالخصوص على I2 وكذلك الدالة x→x قابلة للاشتقاق على I2 وبالتالي f قابلة للاشتقاق على I2
| f '(x)= | √(x+1) - x(√(x+1))' |
| (√(x+1))² | |
| = | 2(√(x+1))² - x |
| 2(x+1)√(x+1) | |
| = | x+2 |
| 2(x+1)√(x+1) |
لدينا اشارة f'(x) هي اشارة x+2
f'(x)=0⇔ x+2=0⇔x=-2
-2∉I2 و x+2>0 وبالتالي
f تزايدية قطعا على ]-1;+∞[
الدالة المشتقة للدالة f معرفة كما يلي
| { | f '(x)= | -x-2 | ; x<-1 |
| 2(-x-1)√(-x-1) | |||
| f '(x) = | x+2 | ; x>-1 | |
| 2(x+1)√(x+1) |
| x | -∞ | -2 | -1 | +∞ | |||||
| f'(x) | + | 0 | - | + | |||||
| f | -∞ |
↗ |
-2 | ↘ |
-∞ |
-∞ |
↗ |
+∞ | |