Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par f(x)=|x²-4|.
1) Etudier la dérivabilité de f au point 2 et -2.
2) Etudier la dérivabilité de f sur IR\{-2;2}.

Correction

f(x)=|x-2|.|x+2| et f(2)=0.
1) (a) On étudie la dérivabilité à droite à 2
soit x∈[2;2+r[ tel que r>0 donc x≥2
et |x²-4|=(x-2)(x+2).

donc f est dérivable à droite à 2 et f'_d(2)=4.

(b) On étudie la dérivabilité à gauche à 2.
Soit x∈]2-r;2] tel que r>0 à valeur petite
donc x≤2 et f(x)=|x-2|.|x+2|=-(x-2)(x+2).

ainsi f'_g(2)=-4 et puisque f'_g(2)≠f'_d(2) alors f n'est pas dérivable au point 2.
Notons que f est dérivable à gauche et à droite à 2.
Dans ce cas la courbe (C) admet deux demi-tangentes au point A(2;0).
On dit que A est un point théodolite ou aigu.

(c) On étudie la dérivabilité à droite à -2.
Soit x∈[-2;-2+r[ tel que r>0 donc x≥-2
f(x)=|x-2|.|x+2|=(x-2)(x+2) et f(-2)=0.

Donc f est dérivable à droite à -2 et f'_d(-2)=4
(d) On étudie la dérivabilité à gauche à -2.
Soit x∈]-2-r;-2] tel que r>0 donc x≤-2.

donc f est dérivable à gauche à -2
et f'_g(-2)=-4.

Puisque f'_g(-2)≠f'_d(-2) alors f n'est pas dérivable en -2
Notons que f est dérivable à gauche et à droite à -2.
Dans ce cas la courbe (C) admet deux demi-tangentes au point B(-2;0) et on dit que B est un point théodolite ou aigu.

2) f est définie sur des intervalles

la fonction x→ x²-4 est dérivable sur IR donc dérivable sur K=]-∞;-2[∪]2;+∞[ ainsi f est dérivable sur K, soit x∈K
f '(x) = 2x²
la fonction x→ -x²+4 est dérivable sur IR donc dérivable sur J=]-2;2[
ainsi f est dérivable sur J.

Soit x∈J
f'(x) = -2x² alors

Notons qu'on étudie la dérivabilité sur des intervalles ouverts.