Dénombrement (3)
3- Arrangements et Permutations
3.1 Arrangement avec répétition
3.1.1 Activité 1
Combien de nombres possibles à deux chiffres peuvent être formés par des nombres 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5 ?
Correction
Un nombre à deux chiffres est constitué d'unités et de dizaines.
| DIZAINES | UNITE'S |
Donc il y'a 5 choix pour désigner le chiffre de l'unité et 5 choix pour la dizaine.
Et donc d'après le principe fondamental du dénombrement le nombre possible est donc 5×5=25=5².
3.1.2 Activité 2
Combien de nombres possibles à trois chiffres peuvent formés par des nombres 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5 ?
Correction
| CENTAINES | DIZAINES | UNITE'S |
Le nombre possible de nombres à trois chiffres est 5×5×5=5³=125.
3.1.3 Définition
Un arrangement avec répétition (les éléments ne sont pas nécessairement différents) à p éléments parmi n éléments est une disposition ordonnée de p éléments.
3.1.4 Propriété
Le nombre d'arrangements avec répétition à p éléments parmi n éléments est np.
3.2 Arrangement sans répétition
3.2.1 Activité 1
Combien de nombres possibles à deux chiffres différents peuvent être formés par des nombres 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5 ?
Correction
Il y'a 5 choix pour désigner le chiffre de l'unité et il reste 4 choix pour la dizaine.
D'après le principe fondamental du dénombrement le nombre de possibilités est donc 5×4=20.
Et on écrit
| A | 2 5 | = 5×4 |
3.2.2 Activité 2
Combien de nombres possibles à quatre chiffres différents peuvent être formés par des nombres 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5 ?
Correction
Le nombre de possibilités
| A | 4 5 | = 5×4×3×2 = 120 |
3.2.3 Définition
Un arrangement sans répétition (tous les éléments sont différents)
de p éléments avec p≤n parmi n éléments est une disposition ordonnée de p éléments différents.
3.2.4 Propriété
Le nombre d'arrangements sans répétition de p éléments parmi n éléments est défini par
| A | p n | = n×(n-1)×(n-2)×...×(n-p+1) |
( le produit de p facteurs consécutifs).
| A | 0 0 |
= 1 | A | 1 1 |
= 1 | |
| A | 0 n |
= 1 | A | 1 n |
= n |
Exemples
| A | 4 20 |
= 20×19×18×17 |
| A | 5 22 |
=22×21×20×19×18 |
3.3 Nombre de permutations
3.3.1 Définition et propriété
La permutation de n éléments est une classement ordonnée de n éléments distincts.
Le nombre de permutations de n éléments différents est n×(n-1)×...2×1 (le produit de n facteurs) et est noté n!
3.3.2 Exemples
4!=4.3.2.1=24 et 5!=5.4.3.2.1=120.
Exercice ici..Déterminer le nombre de résultats possibles dans la course de 100 mètres de 8 concurrents
Correction
Le nombre de résultats possibles de la course de 100 mètres 8!= 40320.