Vecteurs de l'espace (1)
Exercice 1 tp
Soit TABC un tétraèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux.
Montrer que TC→⊥AB→ ; TB→⊥AC→ et TA→⊥BC→.
Correction
1) On montre que TC→ ⊥AB→.
(a) On considère le triangle équilatéral TAB et I le milieu du segment [AB]
on a (AB)⊥(TI).
![](../img/tetraedre2.png)
(b) On considère le triangle équilatéral ABC.
On a (AB)⊥(CI) donc
{ | (AB)⊥(TI) | ⇒ (AB)⊥(TCI) |
(AB)⊥(CI) |
et on a
{ | (TC)⊂(TCI) | ⇒ (BD)⊥(TC) |
(AB)⊥(TCI) |
donc TC→ ⊥AB→.
2) On montre que
TB→⊥AC→.
(a) On considère le triangle équilatéral TAC et J le milieu du segment [AC]
on a (AC)⊥(TJ).
(b) On considère le triangle équilatéral ABC
on a (AC)⊥(BJ)
donc
{ | (AC)⊥(TJ) | ⇒ (AC)⊥(TBJ) |
(AC)⊥(BJ) |
Et on a
{ | (TB)⊂(TBJ) | ⇒ (AC)⊥(TB) |
(AC)⊥(TBJ) |
ainsi TB→⊥CD→.
de la même manière on montre
TD→⊥BC→.
Exercice 2 tp
Soit TBCD un tétraèdre. On considère deux points I et J tels que
DI→ = | 1 | TB→ | BJ→ = | 1 | BT→ | + BC→ | |
2 | 2 |
1) Tracer la figure.
2) Montrer que les points I; D; J et C sont coplanaires.
3) Montrer que le quadilatère IDJC est un parallélogramme.
Exercice 3 tp
Soit PABCD un pyramide, dont la base ABCD est un carré de centre O et toutes les autres faces sont des triangles équilatéraux.
On considère un point M du plan (ABC) tel que
OM→ = | 1 | AB→ |
2 |
1) Déterminer le lieu géométrique du point M.
2) Soit N le milieu du segment [PM].
On suppose que le point M change dans le plan (ABC)
déterminer alors le lieu du point N avec ses éléments caractéristiques.