2- Repère dans l'espace

2.1 Coordonnées d’un point et d'un vecteur

2.1.1 Définition

Soient O un point dans l'espace 𝔼 et i^→ ; j^→ et k^→ trois vecteurs non coplanaires.
Le quadruplé (O;i^→;j^→;k^→) est appelé repère dans l'espace.

Si de plus i^→ ; j^→ et k^→ sont orthogonaux deux à deux et ||i^→||=||j^→||=||k^→||=1 alors le repère est orthonormé.
Notons que désormai l'espace 𝔼 est rapporté au repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).

2.1.2 Coordonnées d’un point

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
(∀M∈𝔼)(∃(x;y;z)∈ℝ³):
OM^→= xi^→+yj^→+zk^→.
Les nombres x ; y et z sont appelés les coordonnées du points M et on écrit M(x;y;z).

On dit également que les nombres x ; y et z sont les coordonnées du vecteur OM^→ et on écrit OM^→(x;y;z) Ou encore

x est l'abscisse de M.
y est l'ordonnée de M.
z est le cote de M.

2.1.3 Coordonnées d’un vecteur dans une base

Base de l'espace Trois vecteurs u^→ ; v^→ et w^→ non coplanaires déterminent une base dans l'espace, noté (u^→;v^→;w^→).

Exemple (O;i^→;j^→;k^→) est un repère de l'espace donc (i^→;j^→;k^→) est une base.

Propriété Soit B=(u^→;v^→;w^→) une base.
(∀e^→∈𝕍₃)(∃(x;y;z)∈IR³) e^→=xu^→+yv^→+zw^→
et on écrit e^→_B(x;y;z).

Coordonnées de u^→+v^→ Soit (i^→;j^→;k^→) une base de l'espace.
On considère deux vecteurs u^→(x;y;z) et v^→(x';y';z').
On a u^→+v^→(x+x';y+y';z+z').

Exemple Soient u^→(3;1;2) et v^→(-5;7;1) deux vecteurs.
u^→+v^→(-2;8;3).

Coordonnées de tu^→ Soient u^→(x;y;z) un vecteur et t un nombre réel.
On a tu^→(tx:ty;tz).

Exemple Soient u^→(5;-4;7) un vecteur et t=-3.
On a -3u^→(-15;12;-21).