Espace analytique (3)
Exercice 1 tp
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→).
Soient u→(1;2;a-b) et v→(5;a+b;20) deux vecteurs.
Déterminer a et b pour que u→ et v→ soient colinéaires.
Correction
Première méthode
u→ et v→ sont colinéaires signifie (∃k∈IR): v→=ku→
Signifie
| { | 5 = 1k | ⇔ { | k=5 |
| a+b = 2 | a+b=2 | ||
| 20 = k(a-b) | a-b=4 |
signifie
| { | k=5 |
| a = 7 | |
| b = 3 |
donc
v→ =5u→ et cela signifie que u→ et v→ sont colinéaires si a=7 et b=3.
ainsi u→(1 ; 2 ; 4) et v→(5 ; 10 ; 20).
Deuxième méthode
u→ et v→ sont colinéaires signifie que les déterminants extraits de u→ et v→ sont tous nuls
signifie
| 1 | 5 | = 0 | |
| 2 | a+b |
| 1 | 5 | = 0 | |
| a-b | 20 |
| 2 | a+b | = 0 | ||
| a-b | 20 |
Signifie
| { | a+b-10 = 0 | ⇔ { | a+b = 10 |
| 20-5(a-b) = 0 | a-b=4 | ||
| 40 - (a-b)(a+b) = 0 | a²-b² = 40 |
| ⇔ { | a = 7 |
| b = 3 | |
| a²-b² = 40 |
le couple (7;3) vérifie l'équation a²-b²=40 donc a=7 et b=3.
2.3 Condition analytique de coplanarité de 3 vecteurs
2.3.1 Déterminant de 3 vecteurs dans l'espace
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). Soient u→(x;y;z) ; v→(x';y';z') et w→(x";y";z") trois vecteurs.
| det(u→;v→;w→) = | x | x' | x" | |
| y | y' | y" | ||
| z | z' | z" |
| = x | y' | y" | - y | x' | x" | + z | x' | x" | |||
| z' | z" | z' | z" | y' | y" |
= x(y'z"-z'y")-y(x'z"-z'x")+z(x'y"-y'x").
Exemple
Soient u→(2;3;4); v→(-1;0;1) et w(5;7;-1) trois vecteurs.
Calculer D=det(u→ ; v→ ; w→)
Correction
| D = | 2 | 0 | 7 | - 3 | -1 | 5 | + 4 | -1 | 5 | |||
| 1 | -1 | 1 | -1 | 0 | 7 |
= 2(0-7)-3(1-5)+4(-7)=-30
donc det(u→ ; v→ ; w→) = -30.
2.3.2 Théorème
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→).
Soient u→(x;y;z); v→(x';y';z')
et w→(x";y";z") trois vecteurs.
1) u→; v→
et w→ sont coplanaires
| ⇔ | x | x' | x" | = 0 | ||
| y | y' | y" | ||||
| z | z' | z" |
2) u→ ; v→ et w→ sont non coplanaires ⇔ det(u→;v→;w→)≠0.