Espace analytique (6)
4- Equation cartésienne d’un plan - Equations cartésiennes d'une droite
4.1 Equation cartésienne d’un plan
4.1.1 Définition et propriété
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). Le plan ℙ passant par un point A et orienté par deux vecteurs u→ et v→ est l'ensemble des points M de l'espace 𝔼 tels que AM→ ; u→ et v→ sont coplanaires.
M∈ℙ ⇔ det(AM→;u→;v→)=0.
4.1.2 Théorème
L'équation cartésienne d'un plan s'écrit sous la forme
ax+by+cz+d=0 avec (a;b;c)≠(0;0;0).
Exemple
Soit ℙ un plan passant par A(1;2;2) et orienté par u→(1;4;1) et v→(1;0;2)
Vérifier que ℙ existe et déterminer son équation cartésienne.
Correction
1) Supposons u→ et v→ sont colinéaires.
(∃k∈IR): v→=ku→
donc 1=k ; 0=4k et 2=2k et donc k=0 et k=1 ce n'est pas possible ainsi u→ et v→ ne sont pas colinéaires alors ℙ existe.
| M(x;y;z)∈ℙ⇔ | x-1 | 1 | 1 | = 0 |
| y-2 | 4 | 0 | ||
| z-2 | 1 | 2 |
⇔(x-1)(8-0)-(y-2)(2-1)+(z-2)(0-4)=0
ainsi 8x-y-4z+2=0 est une équation cartésienne du plan ℙ.
4.2 Equations cartésiennes d’une droite
4.2.1 Définition et Propriété
Soit (D) une droite passant par A(xA;yA;zA) et u→(a;b;c) son vecteur directeur
Si abc≠0 alors (D est définie par les équations déduites de sa représentation paramétrique
| x-xA | = | y-yA | = | z-zA |
| a | b | c |
appelées équations cartésiennes de (D).
4.2.2 Exemple
Soit D(A,u→) une droite tels que A(2;4;1) et u→(5;7;10).
Déterminer les équations cartésienne de la droite (D).
Correction
M(x ; y ; z)∈(D) ⇔
| x-2 | = | y-4 | = | z-1 |
| 5 | 7 | 10 |
Exercice 1 tp
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). Soit (D) une droite définie par des équations cartésienne suivante
| x+1 | = | y-2 | = | 1-z |
| 2 | 4 | 2 |
Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite (D) et déduire une représentation paramétrique de la droite (D).
Correction
| x+1 | = | y-2 | = | 1-z | |
| 2 | 4 | 2 | |||
| ⇔ | x+1 | = | y-2 | = | z-1 |
| 2 | 4 | - 2 |
donc A(-1;2;1) est un point de la droite (D)
et u→(2;4;-2) est un vecteur directeur de la droite (D)
donc (D)=D(A;u→).
M(x;y;z)∈(D) ⇔ (∃t∈IR): AM = tu
| ⇔ { | x = -1 + 2t | (t∈IR) |
| y = 2 + 4t | ||
| z = 1 - 2t |
Ce système d'équations est une représentation paramétrique de la droite (D).