1- الفروع اللانهائية والمقاربات

1.2 المقاربات

1.2.1 تعريف

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم (O ;i^→;j^→)
اذا آلت احداتيات نقطة من المنحنى (C)
الى ما لانهاية فان المنحنى (C) يقبل فرعا لانهائيا
يعني اذا كان x→±∞ او f(x)→±∞

1.2.2 مقارب مواز لمحور الاراتيب

اذا كانت lim_a^- f(x) = +∞ او lim_a^- f(x) = -∞
او lim_a⁺ f(x) = +∞ او lim_a⁺ f(x) = -∞
فان المستقيم ذو المعادلة x = a هو مقارب للمنحنى (C).

1.2.3 مقارب مواز لمحور الافاصيل

اذا كانت lim_-∞f(x)=b او lim_+∞f(x)=b فان المستقيم ذو المعادلة y=b مقارب للمنحنى (C) بجوار -∞ او من +∞

مثال

لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي :

f(x)=	2x
	x+1

1) لدينا : lim_+∞f(x)=2 اذن المستقيم (D):y=2 هو مقارب للمنحنى (C) بجوار +∞
2) lim_-1⁺ f(x) = +∞ اذن المستقيم (D): x=-1 هو مقارب للمنحنى (C) على يمين 1
3) lim_-1^- f(x) = +∞ اذن المستقيم (D): x=-1 هو مقارب للمنحنى (C) على يسار 1

1.2.4 المقارب المائل

في هذه القفرة الدالة f تقبل تهاية غير منتهية عند ±∞
اذا كانت lim_+∞f(x)-(ax+b)= 0
او (lim_-∞f(x)-(ax+b)=0) حيث a∈IR* و b∈IR فان المستقيم (D) الذي معادلته y=ax+b مقارب مائل للمنحنى (C) بجوار +∞ او (-∞)

خاصية :

لتكن f دالة عددية و (C) المنحنى الممثل لها , المستقيم ذو المعادلة y=ax+b مقارب مائل للمنحنى (C) بجوار +∞ او -∞ اذا وفقط اذا وجدت دالة عددية h بحيث f(x)=ax+b+h(x) و lim_+∞h(x)=0
او (lim_-∞h(x)=0)

مثال

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي :

f(x)=2x+1+	1
	x

lim±∞f(x)-(2x+1)=lim±∞	1	=0
	x

اذن lim_±∞f(x)-(2x+1)=0
ومنه فان المستقيم ذو المعادلة y=2x+1 مقارب مائل للمنحنى (C) بجوار +∞ او -∞

خاصية

اذا كانت lim_{±∞f(x)=±∞} و

lim ±∞	f(x)	= a	;	lim ±∞	f(x)-ax=b
	x

فان المستقيم الذي معادلته y = ax+b مقارب للمنحنى Cf بجوار +∞ او -∞

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x)=	x²-4x+5
	x-2

1) حدد Df
2) حدد مقاربات المنحنى (C)

1.3 الاتجاه المقارب

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x وتقبل نهاية غير منتهية أي ±∞ (lim_±∞f(x)=±∞)

1.3.1 الفرع الشلجمي الذي اتجاهه محور الافاصيل

تعريف

اذا كانت

lim ±∞	f(x)	=0
	x

فان المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الافاصيل (Ox) بجوار -∞ او (+∞)

مثال

لتكن f دالة عددية بحيث f(x)=√x
حدد فرعا شلجميا للمنحنى (C)

تصحيح

1) لدينا lim_+∞√x=+∞
2)

lim +∞	f(x)	=	lim +∞	1	=0
	x			√(x)

اذن المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الافاصيل (Ox)

1.3.2 الفرع الشلجمي الذي اتجاهه محور الاراتيب

تعريف

اذا كانت lim_+∞f(x)=±∞ ولدينا

lim ±∞	f(x)	=±∞
	x

فان المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الاراتيب (Oy) بجوار -∞ او (+∞)

مثال

لتكن f دالة عددية بحيث f(x)=x²
لدينا lim_+∞x²=+∞

اذا كان

lim ±∞	f(x)	=lim +∞	x=+∞
	x

فان المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الاراتيب

1.3.3 الفرع الشلجمي الذي اتجاهه المستقيم الذي معادلته y=ax

تعريف

اذا كانت lim_+∞f(x)=±∞ ولدينا

lim ±∞	f(x)	=a
	x

و lim_±∞f(x)-ax=±∞ فان المنحنى (C) يقبل فرعا شمجميا اتجاهه المستقيم الذي معادلته y=ax
ونقول كذلك المنحنى يقبل اتجاه مقارب معادلته y=ax

تمرين

لتكن f دالى عددية بحيث f(x)=2x+√(x)
حدد فرعا شلجميا للمنحنى (C)

تصحيح

1) لدينا lim_+∞f(x)= lim_+∞2x+lim_+∞√(x)=+∞
2)

lim +∞	f(x)	=	lim +∞	2+	√(x)
	x				x

وبما ان

lim +∞	√(x)	=	lim +∞	1	=0
	x			√(x)

فان

lim +∞	f(x)	=2
	x

3) نحسب lim_+∞f(x)-2x
lim_+∞f(x)-2x=lim_+∞+√x=+∞ وبالتالي المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا اتجاهه المستقيم الذي معادلته y=2x