1- Rappel et compléments

Activités

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = -2+	1
	x²+1

1) Etudier la parité de la fonction f.
2) Montrer que (∀x∈IR): f(x)>-2.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x²+2x+3.
Montrer que (∀x∈IR⁺): f(x)>2.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique

f(x) = 3-	1
	x

1) Déterminer D_f.
2) Montrer que (∀x∈IR^+*): f(x)<3.

Exercice 4 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=cosx.
1) Déterminer D_f.
2) Simplifier cos(x+2π) et cos(x-2π) et déduire !

1.1 Parité et périodicité

1.1.1 Fonction paire

f est une fonction paire si les deux conditions suivantes sont vérifiées
1) (∀x∈D): (-x) ∈D.
2) (∀x∈D): f(-x)=f(x).

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x²+5 on a f est impaire.

Remarques
Soit f une fonction paire.
1) Tout élément et son opposé appartiennent à D.
2) Tout élément et son opposé ont la même image par f.
3) Si D n'est pas centré en 0 alors f n'est pas paire.

Interprétation géométrique d'une fronction paire
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→), on considère la courbe C_f d'une fonction paire f. Soit x∈D.
f(-x)=f(x) ⇒ M(x;f(x)) et M'(-x;f(x)) sont deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Propriété
La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exercice 5 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x)=	1
	x²-2

1) Déterminer D.
2) Montrer que f est paire.

Correction

f est définie si x²-2≠0.
x²-2=0 ⇔ ⇔ x=√2 ou x=-√2.
donc D=IR\{-√2;√2} et il est centré en 0.

2) (∀x∈D) (-x)∈D. Soit x∈D

f(-x) =	1
	(-x)²-2
=	1
	x²-2

donc f(-x)=f(x)
ainsi f est une fonction paire.