1.5.3 تعريف معدل تغير دالة عددية

f دالة عددية مجموعة تعريفها D
x و y عنصران مختلفان , (x≠y) من D
معدل تغير الدالة f بين x و y العدد T(x;y):

T(x;y)=	f(x)-f(y)
	x-y

تمرين 1:

f دالة عددية معرفة كما يلي : f(x)=x²+4x
1) ادرس تغيرات الدالة f على ]-∞;-2] ثم على [-2;+∞[
2) انشئ جدول تغيرات الدالة f.

تصحيح

ليكن x; y∈IR بحيث x≠y
لدينا f(x)-f(y)=x²+4x-(y²+4y)=
=(x²-y²)+4(x-y)
=(x-y)(x+y)+4(x-y)
=(x-y)(x+y+4)
اذن T(x;y)=x+y+4

ندرس اشارة x+y+4
1) i1. ليكن x; y∈]-∞;-2] او x≤-2 و y≤-2
بما ان (x≠y) فان x+y< -4 اي x+y+4< 0, اذن T(x;y)< 0
ومنه فان f دالة تناقصية على ]-∞;-2].
i2. ليكن x; y∈[-2;+∞[ او x≥-2 ; y≥-2
بما ان (x≠y) فان x+y> -4,
اي x+y+4> 0, اذن T(x;y)>0 , وبالتالي f دالة تزايديةعلى [-2;+∞[
2) جدول تغيرات f

x	-∞		-2		+∞
f		↗	-4	↘

1.5.4 خاصيات

f دالة عددية لمتغير حقيقي x, ومعرفة على مجال I .
f تزايدية على I يكافئ لكل x و y من I
x≠y, T(x;y)≥0
f تناقصية غلى I يكافئ لكل x و y من I
x≠y, T(x;y)≤0

تمرين 2:

f: x→2x²+3 دالة عددية
1) ادرس تغيرات f على IR+ ثم على IR-
2) انشئ جدول تغيرات f.

تصحيح

ليكن x;y ∈IR حيث x≠y: بعد القيام بالحساب نحصل على T(x;y)=2(x+y)
1) i1. نفترض ان x; y∈IR+ اي (x≥0 و y≥0) اذن x+y>0, لدينا المتفاوتة ثطعا لان x و y مختلفان لا يمكن ان يأخذوا نفس القيمة 0 في نفس الوقت اذن 2(x+y)> 0 وبالتالي f تزايدية قطعا على IR+

i2. نفترض ان x; y∈IR- اي (x≤0 و y≤0) اذن x+y< 0
ومنه فان 2(x+y)< 0 وبالتالي f تناقصية قطعا على IR-
2) جدول تغيرات f.

x	-∞		0		+∞
f		↘	0	↗

1.5.5 خاصيات

أ) f دالة عددية مجموعة تعريفها D ممركزة عند 0 (D=I∪J)
1) نفترض ان f دالة زوجية
اذا f تزايدية على I فانها تناقصية على J
واذا f تناقصية على I فانها تزايدية على J.
2) نفترض ان f دالة فردية
اذا f تزايدية على I فانها كذلك تزايديةعلى J
واذا كانت تناقصية على I فانها كذلك تناقصية على J.
ب) f دالة عددية معرفة على مجال I=[a;b] و c∈I
1) اذا f تزايدية على المجال [a;c] وتناقصية على المجال [c;b] فان f(c) هي قيمة قصوى للدالة f على I
2) اذا f تناقصية على المجال [a;c] وتزايدية على المجال [c;b] فان f(c) هي قيمة دنيا ل f على I

تمارين

f دالة عددية معرفة على المجال I=[-3;3] كما يلي f(x)=x³-12x
1) ادرس تغيرات الدالة f على كل من [-3;-2]; [-2;2] و [2;3]
2) انشئ جدول تغيرات الدالة f على I
2) استنتج مطارف الدالة f على المجال I .

2- مركب دالتين

2.1 تعريف

2.1.1 مثال

f و g دالتين معرفتين كالتالي
f(x)= 2x-1 و g(x)= x²-3x
اجسب f(3) ثم g(f(3))
حدد g(f(x))

2.1.2 تعريف:

f دالة معرفة على مجال I و g دالة معرفة على مجال J بحيث f(I)⊂J
مركب الدالتين f و g في هذا الترتيب هو دالة نرمز لها ب gof ومعرفة كالتالي
∀x∈I : gof(x)= g(f(x))

2.2 رتابة المركب

2.2.1 خاصية 1:

f دالة معرفة على مجال I و g دالة معرفة على مجال J بحيث f(I)⊂J
gof تزايدية على I اذا وفقط اذا f و g لهما نفس الرتابة.
بتعبير آخر f تزايدية على I و g تزايدية على J
او اذا f تناقصية على I و g تناقصية على J

2.2.2 خاصية 2:

f دالة معرفة على مجال I و g دالة معرفة على مجال J بحيث f(I)⊂J
gof تناقصية على I اذا وفقط اذا f تزايدية على I و g تناقصية على J
او اذا f تناقصية على I و g تزايدية على J