تمرين 13 tp

لتكن f و g دالتين معرفتين بما يلي
f(x)= -2x+1

v(x)=	4x - 5
	x - 3

1) حدد جدول تغيرات كل من الدالتين f و g
2) حدد رتابة الدالة gof على كل من المجالين
]-∞;-1[ ; ]-1;+∞[

تصحيح

1) (q1) f(x)=-2x+1 ; Df=IR
a=-2< 0 اذن الدالة f تناقصية قطعا على IR

x	-∞		+∞
f		↘

f(IR)=IR
(q2) رتابة الدالة g
Dg=]-∞;3[ ∪ ]3;+∞[

	4	-5	= 4.(-3)-1.(-5)=-7< 0
	1	-3

g تناقصية قطعا على المجالين ]-∞;3[ ; ]3;+∞[

x	-∞			3			+∞
g		↘		||		↘

2) رتابة الدالة gof على كل من المجالين
]-∞;-1[ ; ]-1;+∞[
Dgof={x∈Df / f(x)∈Dg}
f(x)∈Dg ⇔ f(x)≠3
⇔ -2x+1≠3
⇔ x≠-1
Dgof =]-∞;-1[ ∪ ]-1;+∞[

لدينا f(-1)=3 , f(]-∞;-1[)=]3;+∞[⊂ ]3;+∞[
وبما ان الدالتين f و g لهما نفس التغيرات فان الدالة gof تزايدية قطعا على ]-∞;-1[
لدينا f(-1)=3 , f(]-1;+∞[)=]-∞;3[⊂ ]-∞;3[
وبما ان الدالتين f و g لهما نفس التغيرات فان الدالة gof تزايدية قطعا على ]-1;+∞[
اذن gof تزايدية قطعا على المجالين ]-∞;-1[ ; ]-1;+∞[

x	-∞			3			+∞
gof		↗		||		↗

gof(x)=	4(-2x+1) - 5	=	8x+1
	-2x-2		2x+2

تمرين 14 tp

نعتبر الدالة f المعرفة كما يلي

f(x)=	√(x+1) + 3
	√(x+1) - 2

1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f
2) فكك الدالة f الى مركب دالتين
3) ادرس رتابة الدالة f على D
4) انشئ جدول تغيرات الدالة f

تصحيح

1) D={x∈IR/ x+1≥0 ∧ x+1≠4}
=[-1;3[∪]3;+∞[

2) نضع u(x)=√(x+1) و v الدالة المعرفة كالتالي

v(x)=	x + 3
	x - 2

لدينا

∀x∈D: f(x)=	u(x) + 3
	u(x) - 2

Du=[-1;+∞[ ; Dv=IR\{2}
vou معرفة اذا كان x≠3 و u(Du)⊂Dv لدينا اذن
f=vou و x∈[-1;3[∪]3;+∞[

3) لدراسة رتابة الدالة f يكفي دراسة رتابة
كل من u على Du\{3} و v على Dv
لدينا u(x)=√(x+1) الدالة u بدورها مركب دالتين
الدالة x→(x+1) تزايدية قطعا على IR وبالخصوص على Du\{3}
والدالة √ تزايدية قطعا على IR+
ولدينا u(Du\{3})⊂IR+
اذن الدالة u تزايدية قطعا على Du\{3}

الدالة v تناقصية قطعا على المجالين ]-∞;2[ ; ]2;+∞[
توجد عدة طرق للبرهنة عن هذا السؤال

	1	3	= 1.(-2)-1.3=-5< 0
	1	-2

نستنتج اذن ان الدالة f تناقصية قطعا على المجالين [-1;3[ ; ]3;+∞[ نؤكد على المجالين وليس بالضرورة على اتحاد المجالين
4) جدول التغيرات