Limite d'une fonction (6)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | x |
| x-1 |
Calculer
lim 1+ |
f(x) | lim 1- |
f(x) |
Correction
1) D=]-∞;1[∪]1;+∞[.
Soit x∈D
| f(x) | = | x-1+1 | = | x-1 | + | 1 |
| x-1 | x-1 | x-1 |
donc
| f(x) = 1+ | 1 |
| x-1 |
Pour calculer la limite de f en 1, on doit étudier le signe de x-1 au voisinage de 1.
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||
| x-1 | - | 0 | + |
si x→1+ alors x∈]1;+∞[
donc
lim 1+ |
f(x)-1 = | lim 1+ |
1 |
| x-1 |
| = | 1 | = +∞ |
| 0+ |
donc
lim 1+ |
f(x) = +∞ |
si x→1- alors x∈]-∞;1[
donc
lim 1- |
f(x)-1 = | lim 1- |
1 |
| x-1 |
| = | 1 | = - ∞ |
| 0- |
donc
lim 1- |
f(x) = -∞ |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x²-25 |
| |x+5| |
Calculer
lim (-5)+ |
f(x) | lim (-5)- |
f(x) |
Correction
1) Limite à droite à -5
Soit x∈]-5;-5+r[ tel que r>0 donc x>-5.
On a donc |x+5|=x+5.
| f(x) = | x²-25 |
| x+5 | |
| = | (x-5)(x+5) |
| x+5 |
alors f(x)=x-5.
lim (-5)+ |
f(x) = | lim (-5)+ |
x-5 = -10 |
2) Limite à gauche à -5
Soit x∈]-5-r;-5[ tel que r>0 donc x<-5.
On a donc |x+5|=-(x-5) ainsi f(x)=-x-5.
lim (-5)- |
f(x) = | lim (-5)- |
-x+5 = 10 |
Notons que f n'admet pas de limite au point -5
mais admet des limites à droite et à gauche à -5.