Limite d'une fonction (8)
5.2 Limites des fonctions polynomiales et rationnelles
5.2.1 Limite au point a
Soient p(x) et q(x) deux polynomes et a ∈IR.
| 1) | lim a |
p(x) = p(a) |
2) si q(a)≠0 alors
lim a |
p(x) | = | p(a) | |
| q(x) | q(a) |
Exemples
1) Soit f(x)=x³-x²+10 un polynôme.
lim 2 | f(x) = f(2)=12 |
2) Soit g(x)=x²-1 un polynôme.
lim -5 | g(x) = g(-5) = 24 |
| 3) | lim4 | 2x-1 | = | 2.4-1 | = | 7 | = | 1 |
| 3x+2 | 3.4+2 | 14 | 2 |
5.2.2 Limite en ±∞
Propriété 1
Soit p(x) un polynôme de degré n.
lim +∞ |
p(x) = | lim +∞ |
(axn) |
lim -∞ |
p(x) = | lim -∞ |
(axn) |
Exemples
lim +∞ |
5x²-7x+8 | = | lim +∞ |
5x² = +∞ |
lim +∞ |
-4x²+7x+1 | = | lim +∞ |
-4x² = -∞ |
lim -∞ |
-2x³+2x²+x-3 | = | lim -∞ |
(-2x³) = -(-∞) = +∞ |
Exercice1 tp
Soit f une fonction définie par
f(x)= (-x²+5x+3)(-2x³+x-3).
Calculer
lim +∞ | f(x) |
Correction
lim +∞ |
(-x²+5x+3) | = | lim +∞ |
(-x²) = -∞ |
lim -∞ |
(-2x³+x-3) | = | lim -∞ |
(-2x³) = -∞ |
| donc | lim +∞ |
f(x) = (-∞).(-∞) = +∞ |
Propriétés 2
Soit axn et bxm respectifs les termes de plus grand degré de p(x) et q(x).
lim+∞ |
p(x) | = | lim+∞ |
axn |
| q(x) | bxm | |||
lim-∞ |
p(x) | = | lim-∞ |
axn |
| q(x) | bxm |
Exemples
lim -∞ |
4x+3 | = | lim -∞ |
3x | = | 3 |
| 7x-2 | 7x | 7 |
lim +∞ |
3x-1 | = | lim +∞ |
3x |
| 4x²+5x | 4x² |
| donc | lim +∞ |
3x-1 | = | lim +∞ |
3 | =0 |
| 4x²+5x | 4x |
Exercice 2 tp
Calculer
lim -∞ |
-4x³+x²+1 |
| 2x²-x |
Correction
lim -∞ |
-4x³+x²+1 | = | lim -∞ |
-4x³ |
| 2x²-x | 2x² |
| = | lim -∞ | -2x = +∞ |