Limite d'une fonction (13)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x |
| √(|x+1|) |
1) Déterminer l'ensemble de définition de f.
2) Calculer les limites de f aux bords de son domaine de définition.
Correction
D={x∈IR/ |x+1|> 0}
={x∈IR/ x+1≠0}
=]-∞;-1[∪]-1;+∞[.
2) Les bords sont -∞; -1- ; -1+ et +∞
On peut écrire f(x) sans valeur absolue.
| { | f(x) = | x | si x< -1 |
| √(-x-1) | |||
| f(x) = | x | si x> -1 | |
| √(x+1) |
Limite en -∞
lim -∞ |
x | = | lim -∞ |
x√(-x-1) |
| √(-x-1) | -x-1 |
| = | lim -∞ |
x | lim -∞ |
√(-x-1) |
| -x |
| = - | lim -∞ |
√(-x-1) = -∞ |
car -x-1→+∞ quand x→-∞
et (-1)x(+∞)=-∞.
donc
lim -∞ | f(x)=- ∞ |
Limite en +∞
lim +∞ |
x | = | lim +∞ |
x√(x+1) |
| √(x+1) | x+1 |
| = | lim +∞ |
x | lim +∞ |
√(x+1) |
| x+1 |
| = | lim +∞ |
x | lim +∞ |
√(x+1) |
| x |
lim +∞ |
f(x) = | = 1.(+∞)= + ∞ |
|x+1|≥0 donc
lim -1 |
x | = | -1 | - ∞ |
| √(|x+1|) | 0+ |
donc
lim -1 |
f(x) =- ∞ |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | √(1-x) - √(x+1) |
| x²-1 |
Calculer les limites de f aux bords de son domaine de définition.
Correction
1) D={x∈IR/1-x≥0 ∧ x+1≥0 ∧ x²-1≠0}
={x∈IR/ x> -1 ∧ x< 1}
=]-1;1[.
Limite à 1 à gauche
(x<1) ⇒ (x-1<0).
| x | -1 | 1 | |
| x+1 | 0 | + | 2 |
| x-1 | -2 | - | 0 |
| x²-1 | 0 | - | 0 |
lim 1- |
f(x) = | lim 1- |
√(1-x) - √(x+1) |
| x²-1 |
Donc
lim 1- |
f(x) = | - √(2) | = + ∞ |
| 0- |
Limite à droite à -1
lim (-1)+ |
f(x) = | lim (-1)+ |
√(1-x) - √(x+1) |
| x²-1 |
donc
lim (-1)+ |
f(x) = | √(2) | = - ∞ | |
| 0- |