Limite des fonctions (8)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
f(x)=2x²+√(x²+2x+2).
Calculer
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
Correction
lim -∞ |
2x² = +∞ et | lim +∞ |
2x² = +∞ |
lim -∞ |
(x²+2x+2) = | lim -∞ |
(x²) = +∞ |
| ⇒ | lim -∞ |
√(x²+2x+2) | = +∞ |
| ainsi | lim -∞ |
f(x) = +∞ |
lim +∞ |
(x²+2x+2) = | lim +∞ |
(x²) = +∞ |
| ⇒ | lim +∞ |
√(x²+2x+2) | = +∞ |
| donc | lim +∞ |
f(x) = +∞ |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 2x+√(x²-1) |
| x |
Calculer
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
Exercice 3 tp
Calculer
lim 2 |
1-√(x-1) |
| x-2 | |
lim +∞ |
1-√(x-1) |
| x-2 |
Correction
1) On peut utiliser le conjugué
Notons que (a-b)(a+b)=a²-b².
lim 2 |
1-√(x-1) | = | lim 2 |
1-(√(x-1))² |
| x-2 | (x-2)(1+√(x-1)) |
| = | lim 2 |
-(x-2) | = | lim 2 |
-1 | |
| (x-2)(1+√(x-1)) | 1+√(x-1) |
on a
lim 2 |
x-1 = 1 | |
| ⇒ | lim 2 |
√(x-1) = 1 |
| ⇒ | lim 2 |
1+√(x-1) = 2 |
donc
lim 2 |
1-√(x-1) | = | - 1 |
| x-2 | 2 |
2) Limite en +∞.
(x≠2) on utilse le résultat suivant
| 1-√(x-1) | = | -1 |
| x-2 | 1+√(x-1) |
On obtient
lim +∞ |
1-√(x-1) | = | lim +∞ |
-1 |
| x-2 | 1+√(x-1) |
on a
lim +∞ |
x-1 = +∞ | |
| ⇒ | lim +∞ |
√(x-1) = +∞ |
| ⇒ | lim +∞ |
1+√(x-1) = +∞ |
| ⇒ | lim 2 |
1-√(x-1) | = | - 1 |
| x-2 | +∞ |
donc
lim 2 |
1-√(x-1) | = 0 |
| x-2 |