الجداء السلمي في الفضاء (1)
1- الجداء السلمي في الفضاء
1.1 تعريف وخاصيات
1.1.1 انشطة
ABCDEFGH مكعب طول ضلعه 1
1. نتموضع في المستوى ABC
احسب AB→.AC→ و AB→.AD→
2. المستوى ABE
احسب AB→.AF→
![](../img/cube01.png)
1.1.2 تعريف
الجداء السلمي لمتجهتين u→ و v→ ونكتب u→.v→ يساوي الجذاء السلمي للمتجهتين AB→ و AC→ في المستوى P=ABC حيث u→=AB→ و v→=AC→
u→.v→ = AB→.AC→ = AB→.AH→ حيث H المسقط العمودي للنقطة C على (AB).
1.1.3 منظم متجهة
تعريف 1
u→ متجهة من V3
u→.u→ يسمى المربع السلمي للمتجهة u→ ونرمز له ب u²→
العدد الحقيقي الموجب √u²→ المعين ل
||u→|| هو منظم المتجهة u→
اذا كانت u→=AB→ فان
||u→||=AB
تعريف 2
u→.v→=||u→|||v→||cos(u→;v→)
1.2 خاصيات التماثلية وثنائية الخطية
1.2.1تعريف وخاصية
u→ و v→ و w→ متجهات من V3 و t عددحقيقي غير منعدم
التماثلية او التبادلية
u→.v→ = v→.u→/
ثنائية الخطية :
u→.(v→+w→) = u→.v→ + u→.w→
u→.(tv→) = t(u→.v→) و
1.2.2 نتائج
(u→+v→)²=u²→+v²→+2u→.v→
(u→-v→)²=u²→+v²→-2u→.v→
(u→-v→).(u→+v→)=u²→-v²→
4u→.v→= (||u→+v→||²+||u→-v→||²)
تمرين
u→ و v→ متجهتان من V3 حيث ||u→||=2 و ||v→||=4 و u→.v→=-0,5
1. احسب u→.(3u→-v→)
2. احسب ||u→+v→||
1.2.3 تعامد متجهتين
تعريف
نقول ان متجهتين متعامدتان اذا كان اتجاهما يحدد زاوية قائمة
خاصية
لتكن u→ و v→ متجهتين من V3.
u→⊥v→ ⇔
u→.v→=0
u → ↑v
برهان :
لدينا :
u→.v→
=||u→||×||v→||cos(u→;v→)
u→.v→=0
⇔ ||u→||×||v→||cos(u→;v→)=0
⇔ cos(u→;v→)=0 او ||u→||=0 او ||v→||=0
⇔
(u→;v→)≡π/2[π]
او u→=0→ او v→=0→
⇔ u→⊥v→
للتذكير
0→ متعامد مع كل متجهة.
1.3 اساس ممنظم في الفضاء
1.3.1 تعريف 1:
ثلاث متجهات غير مستوائية تحدد اساسا في V3
1.3.2 تعريف 2 :
(i→;j→;k→) اساس في V3
(i→;j→;k→) اساس متعامد ممنظم يعني i→⊥j→ و i→⊥k→ و j→⊥k→ و ||i→||=||j→||=||k→||=1
1.3.3 خاصية:
(i→;j→;k→)
اساس في V3
⇔
(∀u→∈V3)(∃a;b;c∈IR): u→= ai→+bj→+ck→
1.4 الصيغة التحليلية في V3
1.4.1 المعلم المتعامد الممنظم
(i→;j→;k→) اساس متعامد ممنظم في V3 و O نقطة من الفضاء E3 المربوع (O;i→;j→;k→) هو معلم متعامد ممنظم.
خاصية
(∀M∈E)(∃(x;y;z)∈IR³):
OM→=xi→+yj→+zk→
في هذا الدرس الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i→;j→;k→)
![repère](../img/repere3.png)
1.4.2 خاصية
u→(x:y:z) و v→(x';y';z') متجهتان من الفضاء
u→.v→= xx + yy +zz
تبيان : يكفي تطبيق التماثلية وثنائية الخطية للجذاء السلمي
1.4.3 امثلة
u→(1;2;3) ; v→(-2;3-;-1)
u→.v→ = 1.(-2)+2.3+3.(-1)=1
u→(-2;8;2) ; v→(-1;-2;7)
u→.v→=(-2).(-1)+8.(-2)+2.7 = 0
اذن
u→ و v→ متعامدتان
1.4.4 منظم متجهة
u→ متجهة من V3, ||u→||=√u² اذن
||u→||=√(x²+y²+z²)
امثلة :
u→(2;0;3), ||u→||=√(4+0+9)=√13
1.4.5 المسافة AB
AB=||AB→|| اذن
AB = √((x-x)²+(y-y)²+(z-z)²)
مثال:
A(1;-1;2) ; B(5;2;2)
AB=√((5-1)²+(2-(-1))²+(2-2))
=√25=5
تمرين
(ABC) مثلث حيث AB=2 و AC=4 و AB→.AC→=-2
1) بين ان BC²=AB²+AC²-2AB→.AC→
2) استنتج المسافة BC
3) احسب BA→.BC→
4) استنتج قياسا بالتقريب للزاوية (BA→;BC→) .