3.3 مجموعة النقط M(x;y;z) حيث x²+y²+z²+ax+bx+cz+d=0

3.2.1 تذكير : الشكل القانوني

x²+ax=(x+	a	)²-	a²	=0
	2		4
y²+by=(y+	b	)²-	b²	=0
	2		4
z²+cz=(z+	c	)²-	c²	=0
	2		4

اذن
x²+y²z²+ax+by+cz+d=0 ⇔

(x+	a	)²+(y+	b	)²+(z+	c	)²
	2		2		2

=	a²+b²+c²-4d
	4

3.2.2 خاصيات

نعتبر المجموعة (S): {M(x,y)/x²+y²+z²+ax+by+cz+d=0}
اذا كان a²+b²+c²-4d>0 فان (S) فلكة مركزها Ω وشعاعها R

Ω(	-a	;	-b	;	-c	)
	2		2		2

R=√(	a²+b²+c²-4d	)
	4

a²+b²+c²-4d=0⇒(S)=Ω
a²+b²c²-4d< 0⇒(S)=∅

تمرين 1

لتكن (S) مجموعة النقط M(x:y;z) حيث
x²+y²+z²-2x+4y+2z+1=0
حدد طبيعة (S)

تصحيح:

لدينا a=-2و b=4و c=2 و d=1
a²+b²+c²-4d=4+16+4-4=20>0 اذن :
(S) فلكة مركزها I(2/2;-4/2;-2/2) اي I(1;-2;-1)
وشعاعها r=(1/2)√(20)=√5

تمرين 2

لتكن E مجموعة النقط M(x:y;z) حيث
x²+y²+z²+6x-2y+2z+12=0
حدد طبيعة (E)

تصحيح:

E=∅ لان 6²+(-2)²+2²-4 ×12)< 0

4- الاوضاع النسبية لفلكة ومستوى ومستقيم

4.1 تقاطع فلكة ومستوى

لتكن (S) فلكة مركزها I وشعاعها R و (P) مستوى و n^→ متجهة منظمية عليه

توجد ثلاث وضعيات
اذا كانت d(I;(P)) > R فان P∩S = ∅
اذا كانت d(I;(P)) = R فان P مماس للفلكة
اذا كانت d(I;(P)) < R فان المستوى يقطع الفلكة وفق دائرة مركزها A , تقاطع المستوى والمستقيم (IA) الذي متجهته الموجهة n^→ وشعاعها r بحيث r²=R²-d²

4.2 امثلة

نعتبر فلكة مركزها I(1;1;2) وشعاعها R=2, والمستوى (P) الذي معادلته 2x+y-z+2 = 0
حدد الاوضاع النسبية للفلكة والمستوى (P)

تصحيح

لدينا d(I;P)=|2+1-2+2|/1 = 1 < 2 اذن المستوى P يقطع الفلكة وفق دائرة
مركزها A(5/3 ; 4/3 ; 5/3)
وشعاعها r=√(4-1)=√3
تبيان :

A∈P∩S ⇔	x=1+2t	t∈ ℝ
	y = 1+t
	z = 2-t
	2x+y-z+2=0
2(1+2t)+1+t-2+t+2 = 0 ⇒ t=-1/3
⇒ x=5/3 ; y=4/3 ; z=5/3

4.2 تقاطع فلكة ومستقيم

لتكن S(I;R) فلكة و (D) مستقيم متجهته الموجهة u^→(α;β;γ)
توجد ثلاث وضعيات
اذا كانت d(I;(D)) > R فان (D) و S منفصلان اي (D)∩S=∅
اذا كانت d(I;(D)) < R فان (D) يقطع الفلكة في نقطتين A و B

من اجل ذلك يكفي حل النظمة

H∈(D)∩S ⇔	x=xI+tα	t∈ ℝ
	y = yI+tβ
	z = zI+tγ
	(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²
اذا كانت d(I;(D))=R فان (D) مماسا للفلكة اي يمسها في نقطة واحدة
ولتحديد نقطة التماس يكفي حل النظمة

تمرين 1

نعتبر في الفضاء المنسوب الى معلم متعامد ممنظم الفلكة S المعرفة بالمعادلة x²+y²+z²-2x+2y=0
1) حدد مركز وشعاع الفلكة S
2) بين ان المستقيم المعرف بالتمثيل البارامتري التالي

H∈(D)∩S ⇔	x=1+t	t∈ ℝ
	y = t
	z = t

يقطع الفلكة في نقطتين A(0;xA) ; B(xB;yB)
3) بين ان المستوى x+y+1=0 مماس للفلكة S في النقطة A
4) حدد معادلة ديكارتية للمستوى Q مماسا للفلكة S في النقطة B

تمرين 2

نعتبر في الفضاء المنسوب الى معلم متعامد ممنظم الفلكة S المعرفة بالمعادلة بمركزها Ω(1;-1;2) وشعاعها R=√(3)
1) حدد معادلة ديكارتية للفلكة S
2) بين ان المستقيم (D) المعرف بالتمثيل البارامتري التالي

H∈(D)∩S ⇔	x=2+2t	t∈ ℝ
	y = 5t
	z =1+7t

مماس للفلكة S مع تحديد A نقطة التماس
3) حدد معادلة ديكارتية للمستوى P مماسا للفلكة S في النقطة A
4)ادرس الاوضاع النسبية للمستوى Q الذي معادلته x+y+z+1=0 والفلكة S
5) ادرس الاوضاع النسبية للمستوى Q والمستقيم (D)