الجداء المتجهي (1)
1- توجيه الفضاء الجداء المتجهي
1.1 توجيه الفضاء
1.1.1 تقديم
i→ و j→ متجهتان متعامدتان منظمهما يساوي 1
في الفضاء الاعتيادي
هناك امكانيتان لاضافة متجهة ثالثة لهما من اجل الحصول على اساس ممتعامد ممنظم في
V3
لذلك هناك اساسان
B(i→;j→;k→)
و B'(i→;j→;-k→)
رجل امبير , هو رجل خيالي راسه في K;
وقدماه في O وينظر الى النقطة I, (OIJK) رباعي الوجوه,
OI→=i→; OJ→=j→
و OK→=k→
اذا كانت الزاوية (i→;j→) موجبة,
فان الاساس B مباشر وكل مثلوث من متجهات غير مستوائية (u→;v→;w→)
موجهة
1.1.2 خاصية
(i→;j→;k→) اساس مباشر و O نقطة من الفضاء
المربوع (O;i→;j→;k→)
معلم متعامد ممنظم مباشر
وبالتالي الفضاء موجه.
1.1.3 امثلة
(O;i→;j→;k→)
معلم متعامد ممنظم مباشر
(i→;j→;k→)
اساس مباشر
(j→;i→;k→)
اساس غير مباشر
(j→;k→;i→)
اساس مباشر
1.2 الجداء المتجهي
1.2.1 تعريف:
الجداء المتجهي لمتجهتين
u→ و v→ في الفضاء
V3 ونكتب u→∧v→,
هو متجهة معرفة بما يلي
اذا كانت u→ و v→ مستقيميتين فان :
u→ ∧ v→ = O→
اذا كانت u→ و v→
غير مستقيميتين فان :
(u→ ∧ v→) ⊥ u→
و (u→ ∧ v→) ⊥ v→
الاساس (u→ ; v→ ; u→ ∧ v→) مباشر
||u→ ∧ v→||
=||u→||×||v→||sin(u→;v→)
1.2.2 نتائج
مساحة المثلث (ABC) هي :
1 | S=||AB→∧AC→|| |
2 |
= | 1 | AB×ACsin(AB→;AC→) |
2 |
1.2.3 امثلة
i→∧j→=k→; k→∧j→=-i→; k→∧i→=j→ و i→∧i→=j→∧j→=k→∧k→=O→
1.2.4 التخالفية والتماثلية الخطية
لتكن u→ و v→ و w→
متجهات القضاء V3 و k عدد حقيقي غير منعدم
التخالفية
u→∧v→=- v→∧u→
تنائية الخطية
u→∧(v→+w→)=u→ ∧ v→ + u→ ∧ w→
و ku→∧v→ = u→∧(kv→) = (ku→)∧v→
ملاحظة:
التجميعية غير محققة على العموم ,
اي u→∧(v→∧w→)≠u→∧v→)∧w→
2- الصيغة التحليلية للجداء المتجهي
2.1 احداتيات الجداء المتجهي لمتجهتين
2.1.1 خاصية
الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر
(O;i→;j→;k→)
u→(x;y;z) ; v→(x';y';z')
∈V3
u→ ∧v→=
(yz'-zy')i→-(xz'-zx')j→+(xy'-yx')k→
برهان
u→ ∧ v→=
(xi→+yj→+zk→)∧(x'i→+y'j→+z'k→)
=xx'i→∧i→+xy'i→∧j→+xz'i→∧k→
+yx'j→∧i→+yy'j→∧j→+yz'j→∧k→
+zx'k→∧i→+zy'k→∧j→+zz'k→∧k→
=xx'O→+xy'k→-xz'j→
-yx'k→+yy'O→+yz'i→
+zx'j→-zy'i→+zz'O→
=(yz'-zy')i→-(xz'-zx')j→+(xy'-yx')k→
اذن
u→∧v→=
(yz'-zy')i→-(xz'-zx')j→+(xy'-tx')k→
ملاحظة:
يمكن استعمال جداول المحددات لتذكر الصيغة
u→∧v→= | i→ | x | x' | |
---|---|---|---|---|
j→ | y | y' | ||
k→ | z | z' |
= | y | y' | i→ | ||
---|---|---|---|---|---|
z | z' | ||||
- | x | x' | j→ | ||
z | z' | ||||
+ | x | x' | k→ | ||
y | y' | ||||
=(yz'-zy')i→-(xz'-zx')j→+(xy'-yx')k→ |
2.1.2 مثال
لتكن u→(2;1;0) et v→(1,2,3)∈V3
حدد u→∧v→
تصحيح
u→∧v→ = | i→ | 2 | x1 | = |
---|---|---|---|---|
j→ | 1 | y2 | ||
k→ | 0 | 3 |
1 | 2 | i→ | - | 2 | 1 | j→ | ||
0 | 3 | 0 | 3 | |||||
+ | x | x' | k→ |
1 | 2 | ||
u→∧v→(3;-6;3)
2.1.3 خاصية 1
ثلاث نقط غير مستقيمية تحدد مستوى متجهته المنظمية AB→ ∧ AC→
2.1.4 خاصية 2:
AB→ ∧ AC→ = 0→ ⇔ A و B و C مستقيمية
2.2 مسافة نقطة عن مستقيم
2.2.1 خاصية
B نقطة من الفضاء و D(A ; u→) مستقيم
لدينا AB→ ∧ u→=(AH→ + HB→)∧ u→
= HB→ ∧ u→
لان AH→ و u→ مستقيميتان
اذن
HB = | || AB→ ∧ u→ || |
---|---|
|| u→ || |
2.2.2 امثلة
D(A ; u→), u→(2;2;-1) و A(2;1;3) و B(-2;1;3)
لدينا AB→ ∧ u→=0i→-4j→+8k→ و ||u→||=3
اذن
d(B;(D))= | √(16+64) | = | √80 |
3 | 3 |