Mathématiques du secondaire qualifiant

Produit vectoriel (1)

1- Orientation de l’espace - Produit vectoriel

1.1 Orientation de l’espace

1.1.1 Introduction

Soient i et j deux vecteurs orthogonaux de norme 1 dans l'espace usuel E3. Il y'a deux possibilités de leur adjoindre un troisième vecteur pour obtenir une base orthonormée dans V3, il existe donc deux bases B(i;j;k) et B'(i;j;-k).

repère dans l'espace
1.1.2 Définition

Soit (OIJK) un tétraèdre.
On pose OI=i; OJ=j et OK=k
Si l'angle (i;j) est positif alors la base B(i;j;k) est directe.
Et chaque triplet de vecteurs non coplanaires (u;v;w) est orienté et l'espace est donc orienté.

1.1.3 Propriété

Soient B=(i;j;k) une base orthonormée directe et O un point dans l'espace.
Le quadruplet (O;i;j;k) est un repère orthonormé direct.

Exemples
Soit (O;i;j;k) un repère orthonormé direct.
(i;j;k) est une base orthonormée directe.
(j;i;k) est une base orthonormée indirecte.
(j;k;i) est une base orthonormée directe.

1.2 Produit vectoriel

1.2.1 Définition

Soient u et v deux vecteurs de V3.
Le produit vectoriel de u et v, noté u∧v est un vecteur défini par
1) Si u et v sont colinéaires alors u∧v=O.

2) Si u et v ne sont pas colinéaires alors
(a) (u ∧ v)⊥u
et (u∧v)⊥v.
(b) La base (u;v;u∧v) est directe.
(c) ||u∧v|| =||u||×||v||sin(u;v).

1.2.2 Résultat

Soit S la surface d'un triangle (ABC).

S =1||AB∧AC||
2
=1AB×ACsin(AB;AC)
2

Exemples

i∧j=k k∧j = - i k∧i = j
i∧i=O j∧j = O k∧k = O
1.2.3 Antisymétrie et Bilinéarité

Soient u ; v et w des vecteurs dans V3 et k un nombre réel non nul.
Antisymétrie u∧v=- v∧u
Bilinéarité
u∧(v+w)=u ∧ v + u ∧ w
et ku∧v = u∧(kv) = (ku)∧v

Remarque
L'associativitée n'est pas vérifiée en général
c'est à dire u∧(v∧w)≠(u∧v)∧w.