Exercice 1 tp

Soit (v_n)_n≥1 une suite numérique définie par
v_n+1=v²_n+1 tel que n≥1 et v₁=1.
Calculer le deuxième terme et le troisième terme de la suite (v_n)_n≥1.

Exercice 2 tp

Soit (v_n)_n≥0 définie par
u_n+1 =2u_n + 1 et u₀ = 3
Calculer le deuxième terme et le troisième terme de la suite (v_n)_n≥0

Exercice 3 tp

Soit (v_n) une suite numérique définie par
u_n+1=√(u_n+2), n∈IN et u₀= 7
Montrer que ∀n ∈IN: 0≤u_n≤7.

Correction

On montre la propriété suivante par raisonnement par absurde
∀n ∈IN: 0≤u_n≤7
1) Pour n=0 on a u₀=7 donc 0≤u₀≤7
ainsi la propriété est vraie pour n=0.

2) On suppose qu'elle est vraie pour n
on a 0≤u_n≤7 ou encore 2≤u_n+2≤7+2
ou encore √(2)≤√(u_n+2)≤3
or √(2)>0 et 3< 7 donc 0≤u_n+1≤7
ainsi la propriété est vraie pour n+1
3) On déduit donc
∀n ∈IN: 0≤u_n≤7 et cela signifie que la suite est bornée.

Exercice 4 tp

Soit (u_n)_n≥0 une suite numérique définie par
u_n+1 = √(0,5(u_n+ 3)), n∈N et u₀ = 1
1) Calculer u₁
2) Montrer par récurrence que
∀ n∈N : 1≤u_n≤1,5.

Correction

1) u₁=√(0,5(u₀+3)) =√(0,5(1+3))
donc u₁=√(2).

2) On montre par récurrence que la propriété suivante est vraie
∀n ∈IN: 1≤u_n≤1,5
pour n=0 on a u₀=1 et 1≤1≤1,5 donc la propriété est vraie pour n=0
on suppose qu'elle est vraie pour n
on a 1≤u_n≤1,5 ou encore 4≤u_n+3≤4,5
ou encore 2≤(0,5)(u_n+3)≤2,25
ainsi √(2)≤√[(0,5)(u_n+3)]≤1,5.

Puisque √(2)>1 alors 1≤√(2)≤u_n+1≤1,5.
La propriété est donc vraie pour n+1
ainsi (∀n∈IN): 1≤u_n≤1,5 alors (u_n) est bornée.

Exercice 5 tp

Soit (u_n) une suite arithmétique de raison 4 et du premier terme u₀=7
Calculer u₂₀₂₁.

Correction

(u_n) est une suite arithmétique
u_n=u₀+nr donc u₂₀₂₁=7+2021.4
ainsi u₂₀₂₁=4091.