Exercice 1 tp

Soit (u_n)n≥1 une suite numérique définie par
u_n+1=-3u_n+4 et u₁=3
on considère la suite (v_n),
v_n=u_n-1
1) Calculer v₁.
2) Montrer que (v_n) est une suite géométrique.
3) Déterminer v_n en fonction de n.
4) Déterminer u_n en fonction de n.

Correction

1) On calcule v₁
on a v_n=u_n-1
ainsi v₁=u₁-1=3-1=2.
2) On montre que (v_n) est une suite géométrique
pour cela on détermine v_n+1.
on a v_n+1=u_n+1-1

Ou encore v_n+1=(-3u_n+4)-1
= -3u_n+3
=-3(u_n-1)
=-3v_n
donc v_n+1=-3v_n ainsi (v_n)n≥1 est une suite géométrique de raison -3.
3) On calcule v_n en fonction de n
puisque (v_n) est une suite géométrique alors v_n=v₁q^n-1.

Et donc v_n=2x(-3)^n-1.
4) Puisque v_n=u_n-1 alors u_n=v_n+1
ainsi u_n=2x(-3)^n-1 + 1.