Mathématiques du secondaire qualifiant

Trigonométrie (1)

1- Formules de transformations

1.1 Activité et résultats

1.1.1 Activité

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i;j). On considère deux points A et B du cercle trigonométrique (C) tels que
(i;OA)≡a[2π] avec (a∈IR).
(i;OB)≡b[2π] avec( b∈IR).

Donc (OA;OB)≡(b-a)[2π].
1) Montrer que OA.OB = cos(b-a)
et det(OA;OB) = sin(b-a).
2) Déduire les deux relations suivantes
cos(b-a) = cosa×cosb + sina×sinb.
sin(b-a) = sinb×cosa - cosb×sina.

1.1.2 Propriétés

Soient a et b deux nombres réels.

{ cos(a-b) = cosa×cosb + sina×sinb
sin(a-b) = sina×cosb - cosa×sinb

1.2 Résultats

1.2.1 Résultats 1

En utilisant l'égalité a+b=a-(-b) on obtient
cos(a+b)=cosa×cosb-sina×sinb.
sin(a+b)=sina×cosb+cosa×sinb.

{tan(a-b) =tana-tanb
1+tana×tanb
tan(a+b) =tana+tanb
1-tana×tanb

En posant a=b on obtient

tan(2a) =2tana
1-tan²a
Exercice 1 tp

Calculer

cos tan
12 12
Correction
cos = cos( +)
121212
= cosπcosπ - sinπsinπ
43 43
= √(2)- √(3)
4 4

donc

cos = √(2)-√(3)
12 4
tan = tan( +)
121212
=tanπ + tanπ
4 3
1-tanπ×tanπ
4 3

ou encore

tan = 1+√(3) = (1+√(3))²
121-√(3)-2

Donc

tan = -2-√(3)
12
1.2.2 Résultats 2

On pose a = b dans les propriétés précédentes on obtient

{sin2a = 2sina×cosa
cos2a =cos²a - sin²a

sin²a+sin²a=1 donc cos2a=2cos²a - 1
et cos2a=1-2sin²a.

Et donc

{cos²(a) =1+cos2a
2
sin²(a) =1-cos2a
2
Exercice 2 tp

Calculer

cos² π sin² π
88