تمرين 18 tp

1) حل في IR المعادلة التالية
(E): cosx + √(3)sinx+1=0
2) حل في ]-π;π] المعادلة (E)
3) حل في ]-π;π] المتراجحة
(I): cosx + √(3)sinx + 1 ≥ 0
4) استنتج في ]-π;π] مجموعة حلول المتراجحة
(I2): cosx + √(3)sinx + 1 < 0

تصحيح

1) cosx + √(3)sinx+1=0
لدينا a=1 ; b=√(3) اذن √(a²+b²)=√(1+3)=2
cosx + √(3)sinx+1=0

⇔ 2(cosx	1	+ sinx	√(3)	+	1	)
	2		2		2

نعلم ان

cos	π	=	1	; sin	π	=	√(3)
	3		2		3		2

اذن المعادلة تصبح

cosx.cos	π	+ sinx.sin	π	+	1	= 0
	3		3		2

أي

cos(x-	π	)	=	-1	= cos	2π
	3			2		3

ومنه فان

x1 -	π	=	2π	+ 2kπ
	3		3
x2 -	π	=	-2π	+ 2kπ ; k∈ℤ
	3		3

اي

x1	=	3π	+ 2kπ ; k∈ℤ
		3
x2	=	-π	+ 2kπ ; k∈ℤ
		3

وبالتالي مجموعة حلول المعادلة

S ={	-π	+ 2kπ	; π + 2kπ / k∈ℤ}
	3

2) نحل في ]-π;π] المعادلة (E)
نؤطر الحلول في ]-π;π]
(q1) -π< x1 ≤ π
-1 < 1 + 2k ≤1
-2 < 2k ≤ 0
-1 < k ≤ 0
وبما ان k∈ℤ فان k=0 ومنه فان x1= π
(q2) -π< x2 ≤ π

-π <	-π	+ 2kπ ≤π
	3
-1 <	-1	+ 2k ≤1
	3
-1 +	1	< 2k ≤1+	1
	3		3

-1	< k ≤	2	; k∈ℤ اي
3		3

اذن k=0 ومنه فان

x2 =	-π
	3

S ={	-π	; π} ومنه فان
	3

3) نحل في ]-π;π] المتراجحة
(I): cosx + √(3)sinx + 1 ≥ 0

⇔ cos(x-	π	)	≥	-1
	3			2

لدينا

X = x-	π	⇔	x = X+	π
	3			3

-π < x ≤ π ⇔

-4π	< X ≤	2π	⇔	X∈]	-4π	;	2π	]
3		3			3		3

نضع

P(x)= cos(x-	π	) +	1
	3		2

x	-π		-π		π
			3
X	-4π		-2π		2π
	3		3		3
P(x)		-	0	+	0

ومنه فان

S =[	-π	; π]
	3

4) نستنتج في ]-π;π] مجموعة حلول المتراجحة
(I2): cosx + √(3)sinx + 1 < 0

S2 =]-π ;	- π	π[
	3