Exercice 1 tp
1) Résoudre dans IR l'équation l'équation
(E): cosx + √(3)sinx+1=0.
2) Résoudre dans ]-π;π] l'équation (E).
3) Résoudre dans ]-π;π] l'inéquation suivante
(I): cosx+√(3)sinx + 1≥0.
4) Déduire dans ]-π;π], l'ensemble de solutions de l'inéquation suivante
(I2): cosx+√(3)sinx + 1<0.
Correction
1) cosx + √(3)sinx+1=0
a=1; b=√(3) donc √(a²+b²)=√(1+3)=2
cosx + √(3)sinx+1=0
| ⇔ 2( |
1cosx |
+ |
√(3)sinx |
+ |
1 |
) =0 |
| 2 |
2 |
2 |
| cos |
π |
= |
1 |
; sin |
π |
= |
√(3) |
| 3 |
2 |
3 |
2 |
donc l'équation devient
| cosx.cos |
π |
+ sinx.sin |
π |
+ |
1 |
= 0 |
| 3 |
3 |
2 |
Ou encore
| cos(x- |
π |
) |
= |
-1 |
= cos |
2π |
| 3 |
2 |
3 |
| ainsi { |
x1 - |
π |
= |
2π |
+ |
2kπ |
| 3 |
3 |
| x2 - |
π |
= |
-2π |
+ 2kπ (k∈ℤ) |
| 3 |
3 |
| x1 = |
3π |
+ 2kπ et x2 = |
-π |
+ 2kπ (k∈ℤ) |
| 3 |
3 |
Donc
| SE ={ |
-π |
+ 2kπ |
; π + 2kπ / k∈ℤ} |
| 3 |
2) On résout dans ]-π;π] l'équation (E)
on encadre les solutions dans ]-π;π]
-π< x1 ≤ π ⇔ -1 < 1 + 2k ≤1
⇔ -2 < 2k ≤ 0 ⇔ -1 < k ≤ 0
puisque k∈ℤ alors k=0 ainsi x1= π
| -π< x2 ≤ π ⇔ -π < |
-π |
+ 2kπ ≤π |
| 3 |
| ⇔ |
|
-1 < |
-1 |
+ 2k ≤1 |
| 3 |
| ⇔ |
-1 |
< k ≤ |
2 |
; k∈ℤ |
| 3 |
3 |
3) On résout dans ]-π;π] l'inéquation
(I): cosx + √(3)sinx + 1≥0
-π < x ≤ π ⇔
| -4π | < X ≤ |
2π |
⇔ |
X∈] |
-4π |
; |
2π |
] |
| 3 |
3 |
3 |
3 |
| On pose P(x)= cos(x- |
π |
) + |
1 |
| 3 |
2 |
| x |
|
-π |
|
-π |
|
π |
| 3 |
| X |
|
-4π |
|
-2π |
|
2π |
| 3 |
3 |
3 |
| P(x) |
|
|
- |
0 |
+ | 0 |
