1- تذكير

1.1 القسمة الاقليدية لعدد صحيح نسبي على عدد طبيعي غير منعدم

1.1.1 تعريف

ليكن a; b∈ℤ
a|b ⇔ ∃t∈ℤ b=ta

1.1.2 مبرهنة

ليكن (a;b)∈IN*×ℤ
∃(q,r)∈ℤ×IN*: b=aq+r
هذه الكتابة تسمى القسمة الاقليدية ل b على a حيث q يسمى الخارج و r حيث 0≤r< a يسمى الباقي

مثال

نأخذ b=17 و a=5
لدينا : 17=5.3+2 و q=3 و r=2 حيث 0≤2< 5

ملاحظة :

a يقسم b اذا كان r=0

1.1.3 خاصيات

لتكن a;b;c∈ℤ
1) a|0 و a|a
2) a|b و b|a⇔|a|=|b|
مثال
-3|3 و 3|-3
3) المتعدية
a|b و b|c⇒a|c
(4
a|b⇒a|bc, ( العكس خاطئ 3|12 و 6|12 لكن 3.6 لا يقسم 12)

1.1.4 خاصية

a|b و a|c ⇒ ∀(x;y)∈ℤ² : a|xb+yc

برهان:

a|b اذن b=ka حيث k∈Z و a|c اذن c=k'a حيث k'∈Z
ومنه فان xb+yc=xka+yk'a=a(xk+yk')
وبما ان xk+yk'∈Z فان a|xb+yc

1.1.5 خاصية

ac | b ⇒ a|b و c|b
∀ n∈IN*: aⁿ|b ⇒ a|b

1.2 الاعداد الاولية

1.2.1 تعريف

1) ليكن a∈ℤ
a عدد اولي اذا كان يقبل بالضبط اربعة قواسم مختلفة: -1 ; 1 ; a ; -a.
2) ليكن a∈IN
a عدد اولي اذا كان يقبل بالضبط قاسمين مختلفين 1 و a

1.2.2 مثال

1) قواسم الاعداد -7 في ℤ هي -1; -7; 1; 7 اذن يقبل اربعة قواسم مختلفة
العدد -7 هو عدد اولي.
2) مبدئيا العدد 7اولي

1.2.3 ملاحظات

1) |a| عدد اولي ⇔ a عدد اولي
2) -1;0;1 ليست اعدادا اولية
3) ∀a∈ℤ: -1|a ∧ -a|a.

1.2.4 خاصية

كل عدد n≥2 يقبل على الاقل قاسما اوليا.

برهان

ليكن n عدد صحيح غير اولي و > 1 و D هي مجموعة القواسم الاولية للعدد n
D≠∅ (لان n ليس اوليا) و D⊂IN* اذن D مصغورة بعدد نرمز له ب p حيث 1< p< n و p|n.
نفترض ان p ليس اوليا اذن ∃q∈IN*: q|p, 1< q< p
وبما ان p|n فان q|n وهذا متناقض اذن p عدد اولي .

1.3 مجموعة الاعداد الاولية

خاصية:

مجموعة الاعداد الاولية هي مجموعة لا منتهية

برهان :

نفترض ان مجموعة الاعداد الاولية الموجبة P={p1; p2;...;pn} منتهية
ليكن N= 1+p1.p2...pn
N≥3≥2 اذن N يقبل على الاقل قاسما اوليا, فليكن d
d|N و d|p1.p2...pn
اذن d|N-p1.p2...pn اي d|1 وهذا يتناقض مع كون d اوليا وبالتالي P غير منتهية

1.4 خوارزمية اقليدس

1.4.1 مبرهنة اقليدس

ليكن (a;b)∈ℤ² حيث a< b
اذا كان b=qa+r حيث 0≤r< a فان a∧b=a∧r

1.4.2 مثال

حدد 320 ∧ 2030

تصحيح

2030 = 6.320 + 110
320 ∧ 2030 = 320 ∧ 110
320 = 2.110 + 100
320 ∧ 110 = 110 ∧ 100
110 = 1.100 + 10
110 ∧ 100 = 100 ∧ 10
100 = 10.10 + 0 آخر باقي غير منعدم هو 10 اذن 320∧2030=10
هذه الطريقة تسمى خوارزمية اقليدس

1.5 pgcd و ppcm

1.5.1 اصغر مضاعف مشترك لعددين صحيحين

ليكن (a;b)∈ℤ² اصغر مضاعف مشترك للعددين a و b هو اضغر الاعداد الصحيحة الموجة والمضاعفة للعددين a و b ونرمز له ب a∨b او ppcm(a;b)

1.5.2 اكبر قاسم مشترك لعددين صحيحين

ليكن (a;b)∈ℤ² اكبر قاسم مشترك للعددين a و b ونرمز له ب a∧b او pgcd(a;b) هو اكبر الاعداد الصحيحة الموجبة القاسمة للعددين a و b

1.5.3 امثلة

75∧50=25 و 24∨14=84

2- العداد الاولية فيما بينها

2.1 تعريف 1:

ليكن (a;b)∈ℤ²
نقول ان a و b اوليان فيما بينهما اذا كان القاسم بينهما العدد 1 ونكتب si le a∧b=1.

2.1.1 مثال

15 و 14 اوليان فيما بينهما ونكتب , 15 ∧14=1
تبيان 15=1.15=3.5 اذن قواسم العدد 15 هي 1; 3; 5 ;15
14=1.14=2.7 قواسم العدد 14 هي 1; 2; 7; 14
اذن القاسم الوحيد بينهما هو العدد 1.

2.1.2 ملاحظة:

a∧b=1 لا يعني بالضرورة ان a او b اوليان
مثال 14∧15 = 1 ولكن 15 ليس عددا اوليا

2.2 تعريف 2:

ليكن (a;b;c)∈ℤ³ a; b و c اعداد اولية فيما بينها يعني a∧b∧c=1

مثال

10, 12 و 15 اعداد اولية فيما بينها اذن 10∧12∧15=1
تبيان 10=2.5=1.10 اذن قواسم العدد 10 هي 1; 2; 5 و 10
12=1.12=2.6=3.4 اذن قواسم العدد 12 هي 1; 2; 3; 4; 6 و 12
15=1.15=3.5 قواسم العدد 15 هي 1; 3; 5 و 15
وبالتالي القاسم المشترك بين هذه الاعداد هو 1.

2.3 تعريف 3

a ; b و c اعداد اولية مثنى مثنى بينها اذا كان a∧b=1 و a∧c=1 و b∧c=1
وبصفة عامة : الاعداد الصحيحة ai حيث i∈IN اولية مثنى مثنى اذا كان ai∧aj=1 حيث ai≠aj
مثال : 4; 9; 35; 143 اعداد اولية مثنى مثنى بينها.