5- المبرهنة الاساسية للحسابيات

5.1 مبرهنة

ليكن n عددا صحيحا ≥2
يوجد p₁ ; p₂ ; ...; p_m اعداد صحيحة اولية ومختلفة مثنى مثنى ووحيدة و a₁ ; a₂ ; ...; a_m اعدادا طبيعية وغير منعدمة بحيث n=a₁^p₁.a₂^p₂ ... a_m^p_m

ملاحظة

اذا كان n عددا صحيحا سالبا فانه يكفي ضرب في 1-
اذا كان n∈ℤ\{-1;0;1}, n=±a₁^p₁.a₂^p₂....a_m^p_m
هذه الكتابة تسمى تفكيك اولي ل n

امثلة

73500=2².3.5³.7²
17550=2.3³.5².13

5.2 مبرهنة

ليكن x و y عددين طبيعيين
x= a₁^p₁.a₂^p₂....a_m^p_m
& y=a₁^q₁.a₂^q₂ ...a_m^q_m
a_i اعداد اولية ومختلفة مثنى مثنى و pi و qi حيث 1≤i≤m هي اعداد طبيعية
يمكن كتابة x و y بشكل آخر

ملاحظة

x و y ليس لهما بالضرورة نفس عدد العوامل الاولية. العوامل الناقصة a_k يتم استكمالها ب a°_k=1

امثلة

ليكن x=3510 و y=1575 عددين صحيحين
1) حدد x∧y و x∨y
2) تحقق ان x.y=(x∧y).(x∨y)

تصحيح

1) لدينا : x=2.3³.5.7°.11°.13
و y=2°.3².5².7.11°.13° اذن
x∧y=2^inf(1;0).3^inf(3;2).5^inf(1;2)
. 7^inf(0;1).11^min(0+0).13^inf(1;0)
=2⁰.3².5¹.7⁰.11⁰.13⁰
=1.9.5.1.1 =45

x∨y=2^sup(1;0).3^sup(3;2).5^sup(1;2)
. 7^sup(0;1).11^sup(0+0).13^sup(1;0)
=2¹.3³ .5².7¹ .11⁰.13¹
= 2.27.25.7.13
= 122850
2) x.y= 45.122850 = 5528250
وايضا x.y= 3550.1575 = 5528250 نحصل على نفس النتيجة :).

6- التوافق بترديد n (تذكير )

6.1 التوافق بترديد n

6.1.1 تعريف

ليكن (a;b)∈ ℤ² و n∈IN*
نقول ان : a يوافق b بترديد n ونكتب a≡b [n] اذا كان n يقسم b-a
وبتعبير آخر: a≡b [n] ⇔ n | b-a ⇔ ∃k∈ℤ b=kn+a

امثلة

17 ≡ 8[3] لان 3|17-8
13 ≡ 9[2] لان 2|13-9

6.1.2 خاصيات

الانعكاسية: ∀n∈IN*; ∀a∈ℤ a ≡ a[n]
التماثلية: ∀n∈IN*; ∀(a ; b)∈ℤ² a≡b[n] ⇔ b≡a[n]
المتعدية: ∀n∈IN*; ∀a;b;c∈ℤ: a≡b[n] ; b≡c[n] ⇒ a≡c[n]

6.1.3 تعريف:

التوافق بترديد n هو:
انعكاسي وتماثلي ومتعدي
نقول ان التوافق بترديد n هو علاقة تكافؤ

6.1.4 خاصية

n∈IN* ; (a;b)∈Z²
a ≡ b[n] يكافئ a و b لهما نفس الباقي في القسمة الاقلدية على n.

6.1.5 مبرهنة

ليكن (a;b)∈ℤ² ; n∈IN*
∀c∈ℤ*: ac≡bc[n] ; c∧n=1 ⇒ a≡b[n]

مثال :

4.29≡4.3[13]⇒29≡3[13] لان 4∧13=1

ملاحظة

الشرط c∧n=1 مهم مثال مضاد
3.5≡3.4[3] لكن 5≢4[3]

تمرين

ليكن a=137 ; b=123 ; n=7
بين ان 137 ≡123[7]

تصحيح

لدينا 137=19.7+4 ; 0≤r=4< 7
و 123=17.7+4 ; 0≤r'=4< 7
اذن a و b لهما نفس الباقي في القسمة الاقلدية على 3
وبالتالي 137≡123[7]
وبالاضافة الى ذلك فان 137≡123≡4[7]

6.2 مقلوب عنصر بالتوافق بترديد n

6.2.1 تعريف

ليكن (a;n)∈ℤ*²
a يقبل مقلوبا بالتوافق بترديد n اذا وجد عدد صحيح b بحيث a.b≡1[n]

6.2.2 مثال

3.7≡1[10] اذن 3 هو مقلوب للعدد 7 بترديد 10

6.2.3 مبرهنة

ليكن n∈IN*
a∈Z* يقبل مقلوبا بالتوافق بترديد n يكافئ a∧n=1

6.2.4 مثال

نضع n=17 اوجد مقلوبا للعدد 4

تصحيح

لدينا 4∧17=1 اذن 4 يقبل مقلوبا نرمز له ب x
4.x≡1[17] يكافئ E: 4x-17k=1; k∈Z
17=4.4+1 يكافئ 17-4.4=4.(-4)-17(-1)=1
(-4;-1) حل خاص للمعادلة E اذن يكفي اخذ x=-4 الذي هو بالفعل مقلوبا ل 4 بالتوافق بترديد 17

تمرين 1

1. انجز القسمة الاقليدية للعدين 1904 و 1232
2. استنتج ان 1904∧1232 و 1904∨1232

تمرين 2

بين انه 7 | 594²⁰.

تمرين 3

ليكن n عددا طبيعيا
بين انه 18²ⁿ≡1[19].