3- Anneau et Corps

3.1 Anneau

3.1.1 Définition

Soit (A ; ⊥ ; T) un ensemble muni de deux LCI ⊥ et T.
On dit que (A;*;T) est un anneau si les trois conditions suivantes sont vérifiées:
1) (A ; ⊥) est un groupe commutatif
2) La LCI ⊥ est associative
3) la LCI T est distributive par rapport à ⊥.

Si de plus T est commutative alors (A;⊥;T) est un anneau commutative.
Et si la LCI T admet un élément neutre
alors (A ; ⊥ ; T) est un anneau unitaire.

Exemple 1
(ℤ;+;×); (ℚ;+;×); (ℝ;+;×) et (ℂ;+;×) ; (ℤ/nℤ ; +; ×) sont des anneaux commutatifs et unitaires.

Exemple 2
L'ensemble des applications définies sur un ensemble E vers IR, noté 𝔽(E;IR) muni des LCI + et × est un anneau commutatif.

Exemple 3
Les ensembles (M₂;+;×) et (M₃,+;×) sont deux anneaux.

Exemple 4
(IN;+;×) n'est pas un anneau car (IN;+) n'est pas un groupe.

Remarque
L'élément neutre de (A;⊥) est appelé le zéro de l'anneau (A;⊥;T).

3.1.2 Propriétés

Soient (A;⊥;T) un anneau unitaire de zéro z et e';x';y' des symétriques respevtifs de e;x;y dans (A;⊥). On a
1) (∀x∈A): xTz = zTx = z.
2) (∀x∈A): e'Tx = x'.
3) (∀(x;y)∈A²): x'Ty = xTy' = (xTy)'.

Exemple
(IR;+;×) est un anneau donc:
1) (∀x∈IR): 0×x=x×0=0
car z=0 est le zéro de l'anneau.

2) (∀x∈IR): -1×x=-x.
3) (∀(x;y)∈IR²):
(-x)×y = x×(-y) = -(x × y).

3.1.3 Anneau intégre

On dit qu'un anneau (A;⊥;T) de zéro z est intégre si A ne contient pas de diviseurs de zéro.
En d'autre terme si
(∀(x;y)∈A²): (xTy = z) ⇒ (x=z ou y=z).

Exemple (IR;+;.) est un anneau intégre
car (∀(x;y)∈IR²): x.y=0⇒x=0 ou y=0.

3.2 Corps

3.2.1 Définition

Soit K un ensemble muni de deux LCI ⊥ et T.
On dit que (K;⊥;T) est un corps si les deux conditions suivantes sont vérifiées:
1) (K;⊥;T) est un anneau unitaire
2) (∀x∈K\{z})
x est symétrisable dans (K;T).
Si de plus T est commutative
alors (A;⊥;T) est un corps commutatif.

Exemples
1) (ℚ;+;×); (ℝ;+;×) et (ℂ;+;×) sont des corps commutatifs.
2) (ℤ;+ ;×) et (ℤ/nℤ;+;×) ne sont pas de corps.

3.2.2 Propriété caractéristique

(k;⊥;T) est un corps si et selement si
1) (K;⊥) est un groupe commutatif d'élément neutre z
2) (K\{z};T) est un groupe
3) T est distributive par rapport à ⊥.

Remarque
(k;⊥;T) est un corps ⇒ (k;⊥;T) est un anneau intégre.