الاشتقاق (2)
2- مشتقة الدالة العكسية ومركب دالتين قابلتين للاشتقاق
2.1 مشتقة مركب دالتين قابلتين للاشتقاق
2.1.1 مثال
لتكن f و g دالتين معرفتين بما يلي : f(x)=2x-1 و g(x)=x²
1) حدد gof(x):
2) احسب f(3); f'(3); g'(5) ; gof'(3)
تصحيح
1) لدينا Df=IR و Dg=IR اذن f(IR)⊂IR
f:x→f(x)= y و g:y→y²=(2x-1)²=4x²-4x+1
اذن ∀x∈IR: g(f(x))=4x²-4x+1
2) f(3)=2.3-1=5 ولدينا : f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على I و f'(x)=2 اذن f'(3)=2
g قابلة للاشتقاق على IR و g'(x)=2x اذن g'(5)=2.5=10
لدينا gof دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR و (gof)'(x)=8x-4
اذن (gof)'(3)=8.3-4=20
ملاحظة : (gof)'(3)=g'(f(3))f'(3)
2.1.2 خاصية
لتكن f و g دالتين معرفتين على التوالي على I و J بحيث f(I)⊂J
اذا كانت f قابلة للاشتقاق في a و g قابلة للاشتقاق في f(a) فان gof قابلة للاشتقاق في a
ولدينا (gof)'(a)=g'(f(a))f'(a)
اذا كانت f قابلة للاشتقاق على I و g قابلة للاشتقاق على J فان gof قابلة للاشتقاق على I
ولدينا ∀x∈I (gof)'(x)=g'(f(x))f'(x)
برهان :
ليكن a∈I
lima | gof(x)-gof(a) |
---|---|
x-a | |
= lima | (gof(x)-gof(a)).(f(x)-f(a)) |
(f(x)-f(a)).(x-a) | |
=g'(f(x)).f'(x) |
2.1.3 حالة خاصة
اذا كانت f قابلة للاشتقاق على I فان لكل x∈I
(f(ax+b))'(x)= af'(ax+b)
مثال :
f(x)= sin(2x+3), احسب f'(x)
تصحيح
sin قابلة للاشتقاق على IR اذن f قابلة للاشتقاق على IR, ليكن x∈IR لدينا f'(x)=2sin'(2x+3)=2cos(2x+3)
2.2 مشتقة الدالة العكسية
2.2.1 تذكير
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I
اذا كانت f متصلة ورتيبة قطعا على I فانها تقبل دالة عكسية معرفة من f(I) نحو I
2.2.2 خاصية
1) لتكن f دالة متصلة ورتيبة قطعا على I و a∈I
اذا كانت f قابلة للاشتقاق في a و f'(a)≠0 فان الدالة العكسية f-1 قابلة للاشتقاق في b=f(a)
ولدينا
(f-1)'(b) = | 1 | = | 1 |
f'(f-1(b)) | f'(a) |
2) اذا كانت f قابلة للاشتقاق على I و ∀x∈I: f'(x)≠0 فان f-1 قابلة للاشتقاق على J=f(I)
∀y∈J: (f-1)'(y) = | 1 |
f'(f-1(y)) |
برهان :
لدينا ∀y∈f(I);∃x∈I: y=f(x)
limb | f-1(y)-f-1(b) |
---|---|
y-b | |
= lima | f-1(f(x))-f-1((f(a)) |
f(x)-f(a) | |
= lima | x-a |
f(x)-f(a) | |
= lima | 1 |
f'(a) | |
= | 1 |
f'(f-1(b)) |
تمرين
نعتبر الدالة f المعرفة كما يلي
f(x)=x-2√(x)
1) 1. ادرس اتصال وقابلية الاشتقاق للدالة f على IR+
2. ادرس اشارة f' ثم استنتج تغيرات الدالة f
3. انشئ جدول تغيرات الدالة f
4. حدد f(4)
2) نعتبر g قصور الدالة f على المجال
[1;+∞[
1. بين ان الدالة g تقبل دالة عكسية معرفة على المجال J يجب تحديده
2. بين ان الدالة g-1 قابلة للاشتقاق في 0 وحدد (g-1)'(0)
3. حدد الدالة العكسية g-1 على المجال J.
تصحيح
D=IR+
1)1. الدالة √ متصلة على IR+ اذن الدالة f متصلة على IR+
الدالة √ قابلة للاشتقاق على IR+* اذن الدالة f قابلة للاشتقاق على IR+*
ندرس قابلية الاشتقاق في 0+
lim0+ | f(x)-f(0) | |
x-0 | ||
=lim0+ | x-2√(x) | |
x | ||
=lim0+1- | 2√(x) | |
x | ||
=lim0+1- | 2 | =-∞ |
√x |
اذن الدالة f غير قابلة للاشتقاق في 0 ومنه فانها قابلة للاشتقاق على IR+*
2. لدينا f'(x)=1-(√x)-1=(√x -1)(√x)-1 حيث x∈IR+*
اذن اشارة f'(x) هي اشارة √x -1
f'(x)=0⇔√x -1=0 ⇔x=1
f'(x)>0⇔x>1 ∧ f'(x)<0⇔x≤1
وهذا يعني ان f تزايدية قطعا على
]1;+∞[ وتناقصية قطعا على
[0;1]
3. جدول التغيرات
بخطوات بسيطة نجد
limf(+∞)f(x)=+∞
x | 0 | 1 | +∞ | ||
f'(x) | || | - | 0 | + | |
f | 0 | ↘ | -1 | ↗ | +∞ |
4. f(4)=4-2√4=0
2) 1. لدينا f متصلة على IR+ وبالخصوص على
I=[1;+∞[ اذن قصورها g متصلة على I
ولدينا f تزايدية قطعا على I اذن قصورها g تزايدية قطعا على I
وهذا يعني ان الدالة g تقبل دالة عكسية معرفة من J=f(I) نحو I
J=f(I)=f([1;+∞[)
=[f(1);lim(+∞)f(x)[=[-1;+∞[
2. لدينا f(4)=0 و
0∈J اذن g-1(0)=4
وبما ان الدالة g قابلة للاشتقاق في 4 و g'(4)=(√4 -1)(√4)-1=1.0,5=0,5≠0
فان الدالة g-1 قابلة للاشتقاق في 0 ولدينا
(g-1)'(0) = | 1 | = | 1 | =2 |
g'(4) | 0,5 |
تحديد الدالة العكسية g-1
g-1(x)=y, x≥-1 ⇔ g(y)=x, y≥1
⇔y-2√y -x=0
نضع √y=t اذن
y=t²
المعادلة تصبح
t²-2t-x=0
t²-2t-x=0⇔t²-2t+1-1-x=0
⇔(t-1)²=1+x ; ≥0
⇔t=1+√(1+x) v t=1-√(1+x)
وبما ان
t=√y≥1
فان
t=1+√(1+x)
g-1(x)=1+√(1+x) وبالتالي
x∈[-1;+∞[ حيث
2.2.3 مشتقة الدالة arctan
ليكن x∈IR نعلم ان arctan(x)=(tan-1)(x)
اذن (arctan)'(x)=(tan-1)'(x)
(arctan)'(x)= | 1 |
(tan)'(arctan(x)) | |
= | 1 |
1+(tan)²(arctan(x)) |
وبما ان tan²(arctan(x))=x² فان
∀x∈IR, (arctan)'(x)= | 1 |
1+x² |
خاصية 1
الدالة arctan قابلة للاشتقاق على IR ولدينا
∀x∈IR, (arctan)'(x)= | 1 |
1+x² |
مثال :
نعتبر الدالة f: x→arctan(3x+2), احسب f'(x)
3- مشتقة الدالة x→n√x حيث n≥1
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على المجال I=]0;+∞[ حيث
y∈I; f(y)=yn
ليكن x∈J=]0;+∞[
n√x =y ⇔ x=yn=f(y)
لدينا f قابلة للاشتقاق على I=]0;+∞[ و f'(y)=nyn-1 ≠0 اذن f-1 قابلة للاشتقاق على J=f(I)=]0;+∞[
(n√x)' = | 1 |
n(n√x)n-1 |
3.1 خاصية
الدالة n√x قابلة للاشتقاق على IR+*
(n√x)' = | 1 |
n(n√x)n-1 |
مثال
(5√x)' = | 1 |
5(5√x)4 |
3.2 نتيجة
اذا كانت f موجبة قطعا وقابلة للاشتقاق على I فان n√f قابلة للاشتقاق على I ولدينا
(n√f)' = | f' |
n(n√f)n-1 |
تمرين
نعتبر الدالتين المعرفتين كما يلي
f(x)=n√(x²+x+3) و g(x)=x-√(2x-1)
احسب f'(x) و g'(x)
4- القوى الجذرية xr حيث (r∈Q*)
4.1 تذكير
ليكن x∈IR*+ و r عدد جذري غير منعدم بحيث
p∈Z* و q∈IN* حيث | r= | p |
q |
العدد xr يسمى قوى جذرية للعدد x ونكتب xr=q√xp
4.2 خاصية
ليكن r∈Q*, الدالة x→xr متصلة وقابلة للاشتقاق على IR*+
ولدينا لكل x>0; (xr)'=rxr-1
مثال :
(x2/3)' =(2/3)x2/3 - 1 =(2/3)x-1/3
4.3 نتيجة
ليكن r∈Q* و f الدالة المعرفة ب f(x)=(g(x))r
اذا كانت g موجبة قطعا وقابلة للاشتقاق على I فان f قابلة للاشتقاق على I
ولدينا :
∀x∈I, f'(x)=rg'(x)(g(x))r-1
مثال :
f(x)=(x²-1)-5/3
Df = {x∈IR/ x²-1>0}
=]-∞:-1[∪]1;+∞[
الدالة x→x²-1 موجبة قطعا وقابلة للاشتقاق على Df اذن f قابلة للاشتقاق على Df
ولدينا f'(x)=(-5/3)(x²-1)'(x²-1)-5/3 - 1
اذن ∀x∈Df: f'(x)=(-10/3)x(x²-1)-8/3.