Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonctions Exponentielles (2)

Exercice 1 tp

Résoudre dans IR les inéquations suivantes
1) ex < 1.
2) ex ≥ 3.

Correction

1) L'inéquation ex< 1 est définie sur IR . Soit x∈IR
ex < 1 ⇔ ln(ex) < ln1
⇔ x < 0 ⇔ x∈]-∅;0[
ainsi S = ]-∅ ; 0[.

2) L'inéquation ex≥3 est définie sur IR. Soit x∈IR
ex ≥ 3 ⇔ ln(ex) ≥ ln3
⇔ x ≥ ln3 ⇔ x∈[ln3;+∞[
ainsi S = [ln3 ; ∞[.

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante:
(ex)² - 2ex ≥ 0.

Correction

L'inéquation (ex)²-3ex-4 ≥0 est définie sur IR.
On pose X = ex > 0.

L'inéquation devient X²-2X ≥ 0 (*).
On résout l'équation X²-2X=0
dans I=]0 ; +∞[.
X²-2X=0 ⇔ X(X-2)=0
⇔ X = 0 ou X = 2
X = 0 ce n'est pas possible car X > 0
donc X=2.
Le trinôme X²-2X est de signe de X-2 sur I.

X 02 +∞
X²-2X||-0+

X²-2X ≥ 0 ⇔ X∈[2 ; +∞[

Puisque X = ex alors
X ≥ 2 ⇔ ex ≥ 2
⇔ x ≥ ln2
ainsi S =[ln2 ; +∞[.

Exercice 3 tp

Résoudre le système suivant

{ 2ex-3ey =1
5ex+2ex =12
Correction

On pose X=ex>0 et Y=ey>0
le système devient

{2X-3Y =1
5X+2Y =12

Toute méthode appropriée peut être utilisée pour résoudre ce système.
2(2X-3Y-1)+3(5X+2Y-12)=0
⇔ 19X=38 ⇔ X=2
-5(2X-3Y-1)+2(5X+2Y-12) = 0
⇔ 19Y=19 ⇔ Y=1
donc
X=2 ⇔ ex=2 ⇔ x=ln2
Y=1 ⇔ ey=1 ⇔ y=ln1=0
ainsi S = {(ln2 ; 0)}.

1.2 Propriétés algébriques

Soient x ; y∈IR et r∈ℚ.

(ex)' = ex
ex+y = ex . ey
(ex)r =erx
e-x =1 et ex-y = ex
exey
Exercice 4 tp

1) Résoudre dans IR l'équation
X² - 3X + 2 = 0.
2) Résoudre dans IR l'équation
ex + 2e-x - 3 = 0.
3) Résoudre dans IR l'inéquation
ex + 2e-x - 3 ≥ 0.