Exercice 1 tp

Résoudre dans IR les inéquations suivantes
1) e^x < 1.
2) e^x ≥ 3.

Correction

1) L'inéquation e^x< 1 est définie sur IR . Soit x∈IR
e^x < 1 ⇔ ln(e^x) < ln1
⇔ x < 0 ⇔ x∈]-∅;0[
ainsi S = ]-∅ ; 0[.

2) L'inéquation e^x≥3 est définie sur IR. Soit x∈IR
e^x ≥ 3 ⇔ ln(e^x) ≥ ln3
⇔ x ≥ ln3 ⇔ x∈[ln3;+∞[
ainsi S = [ln3 ; ∞[.

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante:
(e^x)² - 2e^x ≥ 0.

Correction

L'inéquation (e^x)²-3e^x-4 ≥0 est définie sur IR.
On pose X = e^x > 0.

L'inéquation devient X²-2X ≥ 0 (*).
On résout l'équation X²-2X=0
dans I=]0 ; +∞[.
X²-2X=0 ⇔ X(X-2)=0
⇔ X = 0 ou X = 2
X = 0 ce n'est pas possible car X > 0
donc X=2.
Le trinôme X²-2X est de signe de X-2 sur I.

X²-2X ≥ 0 ⇔ X∈[2 ; +∞[

Puisque X = e^x alors
X ≥ 2 ⇔ e^x ≥ 2
⇔ x ≥ ln2
ainsi S =[ln2 ; +∞[.

Exercice 3 tp

Résoudre le système suivant

Correction

On pose X=e^x>0 et Y=e^y>0
le système devient

Toute méthode appropriée peut être utilisée pour résoudre ce système.
2(2X-3Y-1)+3(5X+2Y-12)=0
⇔ 19X=38 ⇔ X=2
-5(2X-3Y-1)+2(5X+2Y-12) = 0
⇔ 19Y=19 ⇔ Y=1
donc
X=2 ⇔ e^x=2 ⇔ x=ln2
Y=1 ⇔ e^y=1 ⇔ y=ln1=0
ainsi S = {(ln2 ; 0)}.

1.2 Propriétés algébriques

Soient x ; y∈IR et r∈ℚ.

Exercice 4 tp

1) Résoudre dans IR l'équation
X² - 3X + 2 = 0.
2) Résoudre dans IR l'équation
e^x + 2e^-x - 3 = 0.
3) Résoudre dans IR l'inéquation
e^x + 2e^-x - 3 ≥ 0.